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第一章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2017·全国卷Ⅱ理，6)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有导学号51124290(D)A．12种B．18种C．24种D．36种[解析]由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C13·C24·A22＝36(种)，或列式为C13·C24·C12＝3×4×32×2＝36(种)．故选D．2．已知C7n＋1－C7n＝C8n(n∈N*)，则n等于导学号51124291(A)A．14B．12C．13D．15[解析]因为C8n＋C7n＝C8n＋1，所以C7n＋1＝C8n＋1.∴7＋8＝n＋1，∴n＝14，故选A．3．(2016·大连高二检测)3对夫妇去看电影，6个人坐成一排，若女性的邻座只能是其丈夫或其他女性，则坐法的种数为导学号51124292(B)A．54B．60C．66D．72[解析]记3位女性为a、b、c，其丈夫依次为A、B、C，当3位女性都相邻时可能情形有两类：第一类男性在两端(如BAabcC)，有2A33种，第二类男性在一端(如BCAabc)，有2A22A33种，共有A33(2A22＋2)＝36种，当仅有两位女性相邻时也有两类，第一类这两人在一端(如abBACc)，第二类这两人两端都有其他人(如AabBCc)，共有4A23＝24种，故满足题意的坐法共有36＋24＝60种．4．(2016·全国卷Ⅱ理，5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为导学号51124293(B)A．24B．18C．12D．9[解析]由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法，故选B．5．(2017·全国卷Ⅰ理，6)(1＋1x2)(1＋x)6展开式中x2的系数为导学号51124294(C)A．15B．20C．30D．35[解析]因为(1＋x)6的通项为Cr6xr，所以(1＋1x2)(1＋x)6展开式中含x2的项为1·C26x2和1x2·C46x4.因为C26＋C46＝2C26＝2×6×52×1＝30，所以(1＋1x2)(1＋x)6展开式中x2的系数为30.故选C．6．(安徽高考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有导学号51124295(C)A．24对B．30对C．48对D．60对[解析]解法一：先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60°角的对数，然后根据正方体六个面的特征计算总对数．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与面对角线AC成60°角的面对角线有B1C、BC1、C1D、CD1、A1D、AD1、A1B、AB1共8条，同理与BD成60°角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其相邻4个面的对角线，共组成16对，又正方体共有6个面，所有共有16×6＝96对．因为每对都被计算了两次(例如计算与AC成60°角时，有AD1，计算与AD1成60°角时有AC，故AD1与AC这一对被计算了2次)，因此共有12×96＝48对．解法二：间接法．正方体的面对角线共有12条，从中任取2条有C212种取法，其中相互平行的有6对，相互垂直的有12对，∴共有C212－6－12＝48对．7．(2015·湖南理，6)已知x－ax5的展开式中含x32的项的系数为30，则a＝导学号51124296(D)A．3B．－3C．6D．－6[解析]Tr＋1＝Cr5(－1)rarx52－r，令52－r＝32得r＝1，可得－5a＝30⇒a＝－6，故选D．8．从0、1、2、3、4、5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为导学号51124297(C)A．300B．216C．180D．162[解析]本小题主要考查排列组合的基础知识．由题意知可分为两类，(1)选“0”，共有C23C12C13A33＝108，(2)不选“0”，共有C23A44＝72，∴由分类加法计数原理得72＋108＝180，故选C．9．(2016·胶东高二检测)已知某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含x，y正半轴上的整点)，其运动规律为(m，n)→(m＋1，n＋1)或(m，n)→(m＋1，n－1)．若该动点从原点出发，经过6步运动到点(6,2)，则不同的运动轨迹有导学号51124298(C)A．15种B．14种C．9种D．103种[解析]由运动规律可知，每一步的横坐标都增加1，只需考虑纵坐标的变化，而纵坐标每一步增加1(或减少1)，经过6步变化后，结果由0变到2，因此这6步中有2步是按照(m，n)→(m＋1，n－1)运动的，有4步是按照(m，n)→(m＋1，n＋1)运动的，因此，共有C26＝15种，而此动点只能在第一象限的整点上运动(含x，y正半轴上的整点)，当第一步(m，n)→(m＋1，n－1)时不符合要求，有C15种；当第一步(m，n)→(m＋1，n＋1)，但第二、三两步为(m，n)→(m＋1，n－1)时也不符合要求，有1种，故要减去不符合条件的C15＋1＝6种，故共有15－6＝9种．10．若x∈R，n∈N＋，定义Mnx＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n－1)，例如M5－5＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，则函数f(x)＝xM19x－9的奇偶性为导学号51124299(A)A．是偶函数而不是奇函数B．既是奇函数又是偶函数C．是奇函数而不是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数[解析]由题意知f(x)＝x(x－9)(x－8)…(x－9＋19－1)＝x2(x2－1)(x2－4)…(x2－81)故为偶函数而不是奇函数．11．高三(三)班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有两个节目连排，则不同排法的种数是导学号51124300(D)A．240B．188C．432D．288[解析]先从3个音乐节目中选取2个排好后作为一个节目有A23种排法，这样共有5个节目，两个音乐节目不连排，两个舞蹈节目不连排，如图，若曲艺节目排在5号(或1号)位置，则有4A22·A22＝16种排法；若曲艺节目排在2号(或4号)位置，也有4A22A22＝16种排法，若曲艺节目排在3号位置，有2×2A22A22＝16种排法，∴共有不同排法，A23×(16×3)＝288种，故选D．1234512．已知直线ax＋by－1＝0(a、b不全为0)与圆x2＋y2＝50有交点，且交点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有导学号51124301(B)A．66条B．72条C．74条D．78条[解析]先考虑x≥0，y≥0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)(5,5)(7,1)，依圆的对称性知，圆上共有3×4＝12个点的横、纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C212＝66(条)，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线ax＋by－1＝0不经过原点，而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有66＋12－6＝72(条)．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有__24__种.导学号51124302[解析]将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排一名学生有C24A33种分配方案，其中甲同学分配到A班共有C23A22＋C13A22种方案．因此满足条件的不同方案共有C24A33－C23A22－C13A22＝24(种)．14．(2017·浙江，13)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝__16__，a5＝__4__.导学号51124790[解析]a4是x项的系数，由二项式的展开式得a4＝C33·C12·2＋C23·C22·22＝16；a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C33·C22·22＝4.15．(2016·天津理，10)(x2－1x)8的展开式中x7的系数为__－56__.(用数字作答)导学号51124303[解析]二项展开式的通项Tr＋1＝Cr8(x2)8－r(－1x)r＝(－1)rCr8x16－3r，令16－3r＝7，得r＝3，故x7的系数为－C38＝－56.16．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有__90__种．(用数字作答)导学号51124304[解析]本题考查了排列组合中的平均分组分配问题，先分组C25C23C11A22，再把三组分配乘以A33得：C25C23C11A22·A33＝90种．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知A＝{x|1log2x3，x∈N*}，B＝{x||x－6|3，x∈N*}，试问：导学号51124305从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？[解析]A＝{3,4,5,6,7}，B＝{4,5,6,7,8}．从A中取一个数作为横坐标，从B中取一个数作为纵坐标，有5×5＝25(个)，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种，故共有5×5＋5＋4＝34个不同的点．18．(本题满分12分)求证：对任何非负整数n,33n－26n－1可被676整除.导学号51124306[证明]当n＝0时，原式＝0，可被676整除．当n＝1时，原式＝0，也可被676整除．当n≥2时，原式＝27n－26n－1＝(26＋1)n－26n－1＝(26n＋C1n·26n－1＋…＋Cn－2n·262＋Cn－1n·26＋1)－26n－1＝26n＋C1n26n－1＋…＋Cn－2n·262.每一项都含262这个因数，故可被262＝676整除．综上所述，对一切非负整数n,33n－26n－1可被676整除．19．(本题满分12分)(2016·青岛高二检测)已知(1＋mx)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112.导学号51124307(1)求m，n的值；(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和；(3)求(1＋mx)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．[解析](1)由题意可得2n＝256，解得n＝8.∴通项Tr＋1＝Cr8mrxr2，∴含x项的系数为C28m2＝112，解得m＝2，或m＝－2(舍去)．故m，n的值分别为2,8.(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为C18＋C38＋C58＋C78＝28－1＝128.(3)(1＋2x)8(1－x)＝(1＋2x)8－x(1＋2x)8，所以含x2项的系数为C4824－C2822＝1008.20．(本题满分12分)某班要从5名男生3名女生中选出5人担任5门不同学科的课代表，请分别求出满足下列条件的方法种数.导学号51124308(1)所安排的女生人数必须少于男生人数；(2)其中的男生甲必须是课代表，但又不能担任数学课代表；(3)女生乙必须担任语文课代表，且男生甲必须担任课代表，但又不能担任数学课代表．[解析](1)所安排的女生人数少于男生人数包括三种情况，一是2个女生，二是1个女生，三是没有女生，依题意得(C55＋C13C45＋C23C35)A55＝5520种．(2)先选出4人，有C47种方法，连同甲在内，5人担任5门不同学科的课代表，甲不担任数学课代表，有A14·A44种方法，∴方法数为C47·A14·A44＝3360种．(3)由题意知甲和乙两人确定担任课代表，需要从余下的6人中选出3个人，有C36＝20种结果，女生乙必须担任语文课代表，则女生乙就不需要考虑，其余的4个人，甲不担任数学课代表，∴甲有3种选择，余