2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3练习：学业质量标准检测2 Word版含解析

第二章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．设随机变量ξ等可能取值1、2、3、…、n，如果P(ξ4)＝0.3，那么n的值为导学号51124614(D)A．3B．4C．9D．10[解析]∵P(ξ4)＝3n＝0.3，∴n＝10.2．(2017·浙江理，8)已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，(i＝1,2.)若0p1p212，则导学号51124615(A)A．E(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)B．E(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)C．E(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)D．E(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)[解析]由题意可知ξi(i＝1,2)服从两点分布，∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)．又∵0p1p212，∴E(ξ1)E(ξ2)．把方差看作函数y＝x(1－x)，根据0ξ1ξ212知，D(ξ1)D(ξ2)．故选A．3．已知某离散型随机变量X服从的分布列如图，则随机变量X的方差D(X)等于导学号51124616(B)X01Pm2mA．19B．29C．13D．23[解析]由m＋2m＝1得，m＝13，∴E(X)＝0×13＋1×23＝23，D(X)＝(0－23)2×13＋(1－23)2×23＝29，故选B．4．(2016·天水高二检测)设随机变量X服从正态分布N(3,4)，则P(X1－3a)＝P(Xa2＋7)成立的一个必要不充分条件是导学号51124617(B)A．a＝1或2B．a＝±1或2C．a＝2D．a＝3－52[解析]∵X～N(3,4)，P(X1－3a)＝P(Xa2＋7)，∴(1－3a)＋(a2＋7)＝2×3，∴a＝1或2.故选B．5．如果随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，则p等于导学号51124618(A)A．17B．16C．15D．14[解析]如果随机变量ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)，又E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，∴np＝7，np(1－p)＝6，∴p＝17.6．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为导学号51124619(C)A．恰有1只是坏的B．4只全是好的C．恰有2只是好的D．至多有2只是坏的[解析]X＝k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(X＝k)＝Ck7C4－k3C410(k＝1、2、3、4)．∴P(X＝1)＝130，P(X＝2)＝310，P(X＝3)＝12，P(X＝4)＝16，∴选C．7.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A袋中的概率为导学号51124620(D)A．18B．14C．38D．34[解析]小球落入B袋中的概率为P1＝(12×12×12)×2＝14，∴小球落入A袋中的概率为P＝1－P1＝34.8．已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，则E(2ξ＋1)与D(2ξ＋1)的值分别为导学号51124621(D)A．13,4B．13,8C．7,8D．7,16[解析]由已知E(ξ)＝3，D(ξ)＝4，得E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝7，D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝16.9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是导学号51124622(A)A．7.8B．8C．16D．15.6[解析]X的取值为6、9、12，P(X＝6)＝C38C310＝715，P(X＝9)＝C28C12C310＝715，P(X＝12)＝C18C22C310＝115.E(X)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.10．设随机变量ξ服从分布P(ξ＝k)＝k15，(k＝1、2、3、4、5)，E(3ξ－1)＝m，E(ξ2)＝n，则m－n＝导学号51124623(D)A．－319B．7C．83D．－5[解析]E(ξ)＝1×115＋2×215＋3×315＋4×415＋5×515＝113，∴E(3ξ－1)＝3E(ξ)－1＝10，又E(ξ2)＝12×115＋22×215＋32×315＋42×415＋52×515＝15，∴m－n＝－5.11．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a、b、c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为导学号51124624(C)A．13B．12C．112D．16[解析]由条件知，3a＋b＝1，∴ab＝13(3a)·b≤13·3a＋b22＝112，等号在3a＝b＝12，即a＝16，b＝12时成立．12．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为导学号51124625(A)A．74B．7720C．34D．73[解析]由于f2(x)，f5(x)，f6(x)为偶函数，f1(x)，f3(x)，f4(x)为奇函数，所以随机变量ξ可取1,2,3,4.P(ξ＝1)＝C13C16＝12，P(ξ＝2)＝C13C13C16C15＝310，P(ξ＝3)＝C13C12C13C16C15C14＝320，P(ξ＝4)＝C13C12C11C13C16C15C14C13＝120.所以ξ的分布列为：ξ1234P12310320120E(ξ)＝1×12＋2×310＋3×320＋4×120＝74.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．(2016·泉州高二检测)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．若η＝aξ－2，E(η)＝1，则D(η)的值为__11__.导学号51124626[解析]根据题意得出随机变量ξ的分布列为：ξ01234P1212011032015E(ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝32，∵η＝aξ－2，E(η)＝1，∴1＝a×32－2，即a＝2，∴η＝2ξ－2，E(η)＝1，D(ξ)＝12×(0－32)2＋120×(1－32)2＋110×(2－32)2＋320×(3－32)2＋15×(4－32)2＝114，∵D(η)＝4D(ξ)＝4×114＝11.故答案为11.14．一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)＝23.导学号51124627[解析]由条件知，P(A)＝34，P(AB)＝C23C24＝12，∴P(B|A)＝PABPA＝23.15．在一次商业活动中，某人获利300元的概率为0.6，亏损100元的概率为0.4，此人在这样的一次商业活动中获利的均值是__140__元.导学号51124628[解析]设此人获利为随机变量X，则X的取值是300，－100，其概率分布列为：X300－100P0.60.4所以E(X)＝300×0.6＋(－100)×0.4＝140.16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是__②④__(写出所有正确结论的序号).导学号51124629①P(B)＝25；②P(B|A1)＝511；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．[解析]从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1、A2、A3中任意两个事件不可能同时发生，即A1、A2、A3两两互斥，故④正确，易知P(A1)＝12，P(A2)＝15，P(A3)＝310，又P(B|A1)＝511，P(B|A2)＝411，P(B|A3)＝411，故②对③错；∴P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝12×511＋15×411＋310×411＝922，故①⑤错误．综上知，正确结论的序号为②④.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学.导学号51124630(1)求甲、乙两人都被分到A社区的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；(3)设随机变量ξ为四名同学中到A社区的人数，求ξ的分布列和E(ξ)的值．[解析](1)记甲、乙两人同时到A社区为事件M，那么P(M)＝A22C24A33＝118，即甲、乙两人同时分到A社区的概率是118.(2)记甲、乙两人在同一社区为事件E，那么P(E)＝A33C24A33＝16，所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是P(E)＝1－P(E)＝56.(3)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“ξ＝i(i＝1,2)”是指有i个同学到A社区，则p(ξ＝2)＝C24A22C24A33＝13.所以p(ξ＝1)＝1－p(ξ＝2)＝23，ξ的分布列是：ξ12p2313∴E(ξ)＝1×23＋2×13＝43.18．(本题满分12分)(2017·天津理，16)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.导学号51124796(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．[解析](1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝(1－12)×(1－13)×(1－14)＝14，P(X＝1)＝12×(1－13)×(1－14)＋(1－12)×13×(1－14)＋(1－12)×(1－13)×14＝1124，P(X＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－14)＝14，P(X＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X的分布列为：X0123P14112414124随机变量X的数学期望E(X)＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.19．(本题满分12分)(2017·山东理，18)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.导学号51124797(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受