2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3练习：第1章 计数原理1.2.1 第1课时 Word

第一章1.21.2.1第1课时A级基础巩固一、选择题1．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有导学号51124085(C)A．6个B．10个C．12个D．16个[解析]符合题意的商有A24＝4×3＝12.2．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是导学号51124086(B)A．8B．12C．16D．24[解析]设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，∴n＝12.3．(2016·日照高二检测)下列各式中与排列数Amn相等的是导学号51124087(D)A．n！n－m＋1！B．n(n－1)(n－2)…(n－m)C．nAmn－1n－m＋1D．A1nAm－1n－1[解析]Amn＝n！n－m！而A1nAm－1n－1＝n×n－1！n－m！＝n！n－m！，∴A1nAm－1n－1＝Amn.4．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站(这六个大站间)准备不同的火车票种数为导学号51124088(A)A．30种B．15种C．81种D．36种[解析]对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．因此，每张火车票对应于从6个不同元素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种排列．所以问题归结为求从6个不同元素中每次取出2个不同元素的排列数A26＝6×5＝30种．故选A．5．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有导学号51124089(B)A．108种B．186种C．216种D．270种[解析]从全部方案中减去只选派男生的方案数，所有不同的选派方案共有A37－A34＝186(种)，选B．6．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有导学号51124090(C)A．A88种B．A48种C．A44A44种D．2A44种[解析]安排4名司机有A44种方案，安排4名售票员有A44种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算完成，由分步乘法计数原理知共有A44A44种方案．二、填空题7．(2015·广东理，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了__1560__条毕业留言．(用数字作答)导学号51124091[解析]同学两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1560条毕业留言．8．将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有__480__种(用数字作答).导学号51124092[解析]A、B两个字母与C的位置关系仅有3种：同左、同右或两侧，各占13，∴排法有23A66＝480.9.某校园有一椭圆型花坛，分成如图四块种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求每块地只能种一种颜色，且有公共边界的两块不能种同一种颜色，则不同的种植方法共有__48__种.导学号51124093[解析]由于相邻两块不能种同一种颜色，故至少应当用三种颜色，故分两类．第一类，用4色有A44种，第二类，用3色有4A33种，故共有A44＋4A33＝48种．三、解答题10．(2016·深圳高二检测)用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：导学号51124094(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？(2)可以排出多少个不同的三位数？[解析](1)三位数的每位上数字均为1,2,3,4,5,6之一．第一步，得首位数字，有6种不同结果，第二步，得十位数字，有5种不同结果，第三步，得个位数字，有4种不同结果，故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个)．(2)三位数，每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个，共有这样的三位数6×6×6＝216(个)．B级素养提升一、选择题1．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程x2m2＋y2n2＝1中的m和n，则能组成落在矩形区域B＝{(x，y)||x|11，且|y|9}内的椭圆个数为导学号51124095(B)A．43B．72C．86D．90[解析]在1、2、3、4、…、8中任取两个作为m、n，共有A28＝56种方法；可在9、10中取一个作为m，在1、2、…、8中取一个作为n，共有A12A18＝16种方法，由分类加法计数原理，满足条件的椭圆的个数为：A28＋A12A18＝72.2．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有导学号51124096(A)A．12种B．18种C．24种D．36种[解析]先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法；再排第二列，第二列第一行的字母有2种排法，排好此位置后，其他位置只有一种排法．因此共有2A33＝12种不同的排法．二、填空题3．如果直线a与b异面，则称a与b为一对异面直线，六棱锥的侧棱与底边共12条棱所在的直线中，异面直线共有__24__对.导学号51124097[解析]六棱锥的侧棱都相交，底面六条边所在直线都共面，故异面直线只可能是侧棱与底面上的边．考察PA与底面六条边所在直线可用枚举法列出所有异面直线(PA，BC)，(PA，CD)，(PA，DE)，(PA，EF)共四对．同理与其他侧棱异面的底边也各有4条，故共有4×6＝24对．4．有10幅画展出，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画排成一排，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的陈列方式有__5760__种.导学号51124098[解析]第一步，水彩画可以在中间，油画、国画放在两端，有A22种放法；第二步，油画内部排列，有A44种；第三步，国画内部排列，有A55种．由分步乘法计数原理，不同的陈列方式共有A22A55A44＝5760(种)．三、解答题5．求和：12！＋23！＋34！＋…＋nn＋1！.导学号51124099[解析]∵kk＋1！＝k＋1－1k＋1！＝k＋1k＋1！－1k＋1！＝1k！－1k＋1！，∴原式＝11－12！＋12！－13！＋13！－14！＋…＋1n！－1n＋1！＝1－1n＋1！.6．(2016·宝鸡市金台区高二检测)“渐降数”是指每一位数字比其左边的数字小的正整数(如632)，那么比666小的三位渐降数共有多少个？导学号51124100[解析]百位是6，十位是5比666小的渐降数有654,653,652,651,650共5个，百位是6，十位是4比666小的渐降数有643,642,641,640共4个，百位是6，十位是3比666小的渐降数有632,631,630共3个，百位是6，十位是2比666小的渐降数有621,620共2个，百位是6，十位是1比666小的渐降数有610，所以百位是6比666小的渐降数有1＋2＋3＋4＋5＝15个，同理：百位是5比666小的渐降数有1＋2＋3＋4＝10个，百位是4比666小的渐降数有1＋2＋3＝6个，百位是3比666小的渐降数有1＋2＝3个，百位是2比666小的渐降数有1个，所以比666小的三位渐降数共有15＋10＋6＋3＋1＝35个．C级能力拔高(1)写出从a，b，c，d这4个字母中，任意取出2个字母的所有排列；(2)写出从a，b，c，d这4个字母中，任意取出3个字母的所有排列.导学号51124107[解析](1)把a，b，c，d中任意一个字母排在第一个位置上，有4种排法；第一个位置上的字母排好后，第二个位置上的字母就有3种排法．如果第一个位置是a，那么第二个位置可以是b，c或d，有3个排列，即ab，ac，ad.同理，第一个位置更换为b，c或d，也分别各有3个排列，如图所示．因此，共有12个不同的排列，它们是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.(2)根据(1)，从4个字母中每次取出2个字母的排列有12种，在每一种排列的后面排上其余两个字母中的任一个，就得到取出3个字母的所有排列，可以画出树形图，如图所示．因此，共有24个不同的排列，它们是abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.