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第一章1.21.2.1第2课时A级基础巩固一、选择题1．5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为导学号51124119(B)A．18B．36C．48D．60[解析]甲在排头或排尾站法有A12种，再让乙在中间3个位置选一个，有A13种站法，其余3人有A33种站法，故共有A12·A13·A33＝36种站法．2．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有导学号51124120(C)A．504种B．960种C．1008种D．1108种[解析]甲、乙相邻的所有方案有A22A66＝1440种；其中丙排在10月1日的和丁排在10月7日的一样多，各有：A22A55＝240种，其中丙排在10月1日且丁排在10月7日的有A22A44＝48种，故符合题设要求的不同安排方案有：1440－2×240＋48＝1008种，故选C．3．(2016·郑州高二检测)从6个人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有导学号51124121(B)A．300种B．240种C．144种D．96种[解析]先从除甲、乙外的4人中选取1人去巴黎，再从其余5人中选3人去伦敦、悉尼、莫斯科，共有不同选择方案A14·A35＝240种．4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有导学号51124122(B)A．192种B．216种C．240种D．288种[解析]分两类：最左端排甲有A55＝120种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有C14A44＝96种不同的排法，由分类加法原理可得满足条件的排法共有120＋96＝216种．5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有导学号51124123(A)A．20种B．30种C．40种D．60种[解析]分三类：甲在周一，共有A24种排法；甲在周二，共有A23种排法；甲在周三，共有A22种排法；∴A24＋A23＋A22＝20.6．由数字0、1、2、3、4、5可以组成能被5整除，且无重复数字的不同的五位数有导学号51124124(A)A．(2A45－A34)个B．(2A45－A35)个C．2A45个D．5A45个[解析]能被5整除，则个位须为5或0，有2A45个，但其中个位是5的含有0在首位的排法有A34个，故共有(2A45－A34)个．二、填空题7．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为__24__.导学号51124125[解析]“每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能坐两头，可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列，只要将3个人插入5个空位形成的4个空档中即可．∴有A34＝24种不同坐法．8．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__96__.导学号51124126[解析]先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A44种，因此共有不同的分法4A44＝4×24＝96(种)．9．2016年某地举行博物展，某单位将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该单位展出这5件作品不同的方案有__24__种．(用数字作答)导学号51124127[解析]将2件书法作品排列，方法数为2种，然后将其作为1件作品与标志性建筑设计作品共同排列有2种排法，对于其每一种排法，在其形成的3个空位中选2个插入2件绘画作品，故共有不同展出方案：2×2×A23＝24种．三、解答题10．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单.导学号51124128(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？[解析](1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有不同排法A25A66＝14400种．(2)先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A88－A45A44)＝37440种．B级素养提升一、选择题1．用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位数字的六位数共有导学号51124129(A)A．300个B．464个C．600个D．720个[解析]解法一：确定最高位有A15种不同方法．确定万位、千位、百位，从剩下的5个数字中取3个排列，共有A35种不同的方法，剩下两个数字，把大的排在十位上即可，由分步乘法计数原理知，共有A15·A35＝300(个)．解法二：由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数字的应各占一半，故有12A15·A55＝300(个)．2．某地为了迎接2016年城运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是导学号51124130(C)A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒[解析]由题意每次闪烁共5秒，所有不同的闪烁为A55个，相邻两个闪烁的时间间隔为5秒，因此需要的时间至少是5A55＋(A55－1)×5＝1195秒．二、填空题3．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为__576__.导学号51124131[解析]“不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件，由间接法可得A66－A33A44＝576.4．如图是一个正方体纸盒的展开图，若把1,2,3,4,5,6分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是115.导学号51124132[解析]6个数任意填入6个小正方形中有6！＝720种方法；将6个数分三组(1,6)，(2,5)，(3,4)，每组中的两个数填入一对面中，共有不同填法A33×2×2×2＝48种，故所求概率P＝48720＝115.三、解答题5．用0、1、2、3、4五个数字：(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数.导学号51124133[解析](1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2500(个)．(2)解法一：先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A14种填法，其余四个位置四个数字共有A44种，故共有A14·A44＝96(个)．解法二：先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入有A14种方法，其余四个数字全排有A44种方法，故共有A14·A44＝96(个)．(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排，先填百位A12，其余任排有A22，故有2A12·A22种．②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2然后进行全排为2A33，所以共有2A12A22＋2A33＝8＋12＝20(个)．(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有A12种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A13种填法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为A33，故共有A12·A13·A33＝36(个)．6．4个男同学，3个女同学站成一排.导学号51124134(1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)三位女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(5)若3个女生身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？[解析](1)3个女同学是特殊元素，她们排在一起，共有A33种排法；我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有A55种排法，由分步乘法计数乘法原理，有A33A55＝720种不同排法．(2)先将男生排好，共有A44种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空档中插入3个女生有A35种方案，故符合条件的排法共有A44A35＝1440种不同排法．(3)三位女同学站在中间三个位置上的不同排法有A33·A44＝144种．(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A44种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有A22种排法；最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中有A25种排法．这样，总共有A44A22A25＝960种不同排法．(5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有A47种排法．然后再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按身体高矮排列，故仅有一种排法．这样总共有A47＝840种不同排法．C级能力拔高如图所示，有一个正方体的铁丝架，把它的侧棱中点I，J，K，L也用铁丝依次连上，现有一只蚂蚁想沿着铁丝从A点爬到G点，则最近的路线一共有几条？并用字母把这些路线表示出来.导学号51124135[解析]①从A到F，有A→B→J→F，A→I→J→F，A→I→E→F，三条路线．②从A到H，有A→D→L→H，A→I→L→H，A→I→E→H，三条路线．③从A到K，有A→B→C→K，A→B→J→K，A→I→J→K，A→D→C→K，A→D→L→K，A→I→L→K，六条路线．共有3＋3＋6＝12条最短路线．逆向追踪树形图可表示这些路线，如图所示．