2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1课时达标训练：（十） Word版含解析

课时达标训练（十）[即时达标对点练]题组1根据双曲线的标准方程研究几何性质1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()A．－14B．－4C．4D.142．双曲线x225－y24＝1的渐近线方程是()A．y＝±25xB．y＝±52xC．y＝±425xD．y＝±254x3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为()A.3B.2C.52D.22题组2由双曲线的几何性质求标准方程4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x210－y26＝1D.x26－y210＝15．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是()A．x2－y2＝8B．x2－y2＝4C．y2－x2＝8D．y2－x2＝46．已知双曲线两顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±32x，求双曲线的标准方程．题组3求双曲线的离心率7．设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为()A.2B.15C．4D.178．已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，以线段F1F2为边作等边三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e＝________．题组4直线与双曲线的位置关系9．已知双曲线方程为x2－y24＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()A．4B．3C．2D．110．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是________．[能力提升综合练]1．如图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是()2．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴长相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为()A．x2－y2＝2B．x2－y2＝2C．x2－y2＝1D．x2－y2＝123．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()A．y＝±14xB．y＝±13xC．y＝±12xD．y＝±x4．已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)与双曲线C2：x2－y24＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则()A．a2＝132B．a2＝13C．b2＝12D．b2＝25．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．6．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为________．7．双曲线x2a2－y2b2＝1(0ab)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为34c，求双曲线的离心率．8．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝213，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求△F1PF2的面积．答案即时达标对点练1.解析：选A由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m0，则双曲线方程可化为y2－x2－1m＝1，则a2＝1，a＝1.又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－1m＝b2＝4，∴m＝－14.2.解析：选A由x225－y24＝0，得y2＝425x2，即y＝±25x.3.解析：选B由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a＝b，c＝a2＋b2＝2a，于是e＝ca＝2.4.解析：选A由题意知c＝4，焦点在x轴上，所以ba2＋1＝e2＝4，所以ba＝3，又由a2＋b2＝4a2＝c2＝16，得a2＝4，b2＝12.所以双曲线方程为x24－y212＝1.5.解析：选A令y＝0得，x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4，0)，∴c＝4，a2＝12c2＝12×16＝8，故选A.6.解：设以y＝±32x为渐近线的双曲线方程为x24－y29＝λ(λ≠0)，当λ0时，a2＝4λ，∴2a＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ0时，a2＝－9λ，∴2a＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x29－y2814＝1和y29－x24＝1.7.解析：选D由双曲线的定义知，(|PF1|－|PF2|)2＝4a2，所以4a2＝b2－3ab，即b2a2－3·ba＝4，解得ba＝4(－1舍去)．因为双曲线的离心率e＝ca＝1＋b2a2，所以e＝17，故选D.8.解析：依题意知，F1(－c，0)，F2(c，0)，不妨设M在x轴上方，则M(0，3c)，所以MF1的中点为－c2，32c，代入双曲线方程可得c24a2－3c24b2＝1，又c2＝a2＋b2，所以c24a2－3c24（c2－a2）＝1，整理得e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4＋23(e2＝4－231舍去)，所以e＝3＋1.答案：3＋19.解析：选B∵双曲线方程为x2－y24＝1，故P(1，0)为双曲线右顶点，∴过P点且与双曲线只有一个公共点的直线共3条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．10.解析：由x2－y2＝6，y＝kx＋2，得x2－(kx＋2)2＝6.则(1－k2)x2－4kx－10＝0有两个不同的正根．则Δ＝40－24k20，x1＋x2＝4k1－k20，x1x2＝－101－k20，得－153k－1.答案：－153，－1能力提升综合练1.解析：选C直线方程可化为y＝ax＋b，曲线方程可化为x2a＋y2b＝1，若a0，b0，则曲线表示椭圆，可排除A、B、D，若a0，b0，C符合．2.解析：选A设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ0)，渐近线方程为y＝±x，焦点到渐近线的距离c2＝2，∴c＝2.∵2λ＝c2＝4，∴λ＝2.3.解析：选C因为双曲线x2a2－y2b2＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±bax.又离心率为e＝ca＝a2＋b2a＝1＋ba2＝52，所以ba＝12，所以双曲线的渐近线方程为y＝±12x.4.解析：选C双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设直线AB：y＝2x与椭圆C1的一个交点为C(第一象限的交点)，则|OC|＝a3，∵tan∠COx＝2，∴sin∠COx＝25，cos∠COx＝15，则C的坐标为a35，2a35，代入椭圆方程得a245a2＋4a245b2＝1，∴a2＝11b2.∵5＝a2－b2，∴b2＝12.5.解析：由题可得直线的斜率为3，要使直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，只要ba≥3，∴e2＝1＋ba2≥4.答案：[2，＋∞)6.解析：设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式作差得，y1－y2x1－x2＝b2（x1＋x2）a2（y1＋y2）＝－12b2－15a2＝4b25a2，又AB的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是x24－y25＝1.答案：x24－y25＝17.解：由l过两点(a，0)，(0，b)，设l的方程为bx＋ay－ab＝0.由原点到l的距离为34c，得aba2＋b2＝34c.将b＝c2－a2代入，平方后整理，得16a2c22－16×a2c2＋3＝0.令a2c2＝x，则16x2－16x＋3＝0，解得x＝34或x＝14.因为e＝ca，有e＝1x.故e＝233或e＝2.因为0ab，故e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a22，所以离心率e为2.8.解：(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线方程为x2m2－y2n2＝1(a，b，m，n0，且ab)，则a－m＝4，7·13a＝3·13m，解得a＝7，m＝3，所以b＝6，n＝2，所以椭圆方程为x249＋y236＝1，双曲线方程为x29－y24＝1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4，所以cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝45，所以S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝12×10×4×35＝12.