2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1课时达标训练：（十五） Word版含解析

课时达标训练（十五）[即时达标对点练]题组1利用导数公式求函数的导数1．给出下列结论：①(cosx)′＝sinx；②sinπ3′＝cosπ3；③若y＝1x2，则y′＝－1x；④－1x′＝12xx.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．32．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝14，则α等于()A.13B.12C.18D.14题组2利用导数的运算法则求导数3．函数y＝sinx·cosx的导数是()A．y′＝cos2x＋sin2xB．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝2cosx·sinxD．y′＝cosx·sinx4．函数y＝x2x＋3的导数为________．5．已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．6．求下列函数的导数．(1)y＝sinx－2x2；(2)y＝cosx·lnx；(3)y＝exsinx.题组3利用导数公式研究曲线的切线问题7．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0，1)处的切线方程为________．8．若曲线f(x)＝x·sinx＋1在x＝π2处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________．9．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．10．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，求点P的坐标．[能力提升综合练]1．f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2017(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx2．已知曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A．3B．2C．1D.123．曲线y＝sinxsinx＋cosx－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为()A．－12B.12C．－22D.224．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为()A．1B．±1C．－1D．－25．已知函数f(x)＝f′π4cosx＋sinx，则fπ4＝________．6．设f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f′(0)＝________．7．已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．8．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．9．已知两条直线y＝sinx，y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．答案即时达标对点练1.解析：选B因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误．sinπ3＝32，而32′＝0，所以②错误.1x2′＝0－（x2）′x4＝－2xx4＝－2x3，所以③错误.－1x′＝－0－（x12）′x＝12x－12x＝12x－32＝12xx，所以④正确．2.解析：选D∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1.∴f′(1)＝α＝14.3.解析：选By′＝(sinx·cosx)′＝cosx·cosx＋sinx·(－sinx)＝cos2x－sin2x.4.解析：y′＝x2x＋3′＝（x2）′（x＋3）－x2（x＋3）′（x＋3）2＝2x（x＋3）－x2（x＋3）2＝x2＋6x（x＋3）2.答案：x2＋6x（x＋3）25.解析：f′(x)＝alnx＋x·1x＝a(1＋lnx)．由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.答案：36.解：(1)y′＝(sinx－2x2)′＝(sinx)′－(2x2)′＝cosx－4x.(2)y′＝(cosx·lnx)′＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′＝－sinx·lnx＋cosxx.(3)y′＝exsinx′＝（ex）′·sinx－ex·（sinx）′sin2x＝ex·sinx－ex·cosxsin2x＝ex（sinx－cosx）sin2x.7.解析：y′＝ex＋xex＋2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率为k＝e0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1.答案：y＝3x＋18.解析：因为f′(x)＝sinx＋xcosx，所以f′π2＝sinπ2＋π2cosπ2＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－a2，所以根据题意得1×－a2＝－1，解得a＝2.答案：29.解析：∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2，7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.答案：110.解：设点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝3x2－10，所以3x20－10＝2，解得x0＝±2.又点P在第一象限内，所以x0＝2，又点P在曲线C上，所以y0＝23－10×2＋13＝1，所以点P的坐标为(2，1)．能力提升综合练1.解析：选C因为f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝cosx，所以循环周期为4，因此f2017(x)＝f1(x)＝cosx.2.解析：选A因为y′＝x2－3x，所以根据导数的几何意义可知，x2－3x＝12，解得x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．3.解析：选By′＝cosx（sinx＋cosx）－sinx（cosx－sinx）（sinx＋cosx）2＝11＋sin2x，把x＝π4代入得导数值为12，即为所求切线的斜率．4.解析：选A设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax30＋3，所以3x0＋1＝ax30＋3…①.对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3ax20＝3，ax20＝1…②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.5.解析：∵f′(x)＝－f′π4sinx＋cosx，∴f′π4＝－f′π4×22＋22，得f′π4＝2－1.∴f(x)＝(2－1)cosx＋sinx.∴fπ4＝1.答案：16.解析：令g(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f(x)＝xg(x)，求导得f′(x)＝x′g(x)＋xg′(x)＝g(x)＋xg′(x)，所以f′(0)＝g(0)＋0×g′(0)＝g(0)＝1×2×3×…×n.答案：1×2×3×…×n7.解析：法一：∵y＝x＋lnx，∴y′＝1＋1x，y′|x＝1＝2.∴曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．由y＝2x－1，y＝ax2＋（a＋2）x＋1，消去y，得ax2＋ax＋2＝0.由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.法二：同法一得切线方程为y＝2x－1.设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax20＋(a＋2)x0＋1)．∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．由2ax0＋（a＋2）＝2，ax20＋（a＋2）x0＋1＝2x0－1，解得x0＝－12，a＝8.答案：88.解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3，令x＝2得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－32.则f(x)＝x3－32x2－3x＋1，从而f(1)＝－52.又f′(1)＝2×－32＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－－52＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.9.解：不存在．由于y＝sinx，y＝cosx，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，所以两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′|x＝x0＝cosx0，k2＝y′|x＝x0＝－sinx0.若使两条切线互相垂直，必须使cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．