2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1课时达标训练：（八） Word版含解析

课时达标训练（八）[即时达标对点练]题组1直线与椭圆的位置关系1．直线y＝kx＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不能确定2．直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．题组2直线与椭圆的相交弦问题3．椭圆x225＋y24＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为()A．10B．12C．16D．184．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝12x＋1截得的弦长为________．5．已知中心在原点，一个焦点为F(0，50)的椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程．题组3与椭圆有关的最值问题6．已知动点P(x，y)在椭圆x225＋y216＝1上，若A点坐标为(3，0)，||＝1，且＝0，则||的最小值是________．7．若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为________．8．如图，点A是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，(1)若点P的坐标为(0，1)，求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围．[能力提升综合练]1．若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数()A．至多一个B．2个C．1个D．0个2．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是()A．[4－23，4＋23]B．[4－3，4＋3]C．[4－22，4＋22]D．[4－2，4＋2]3．已知椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝()A.2B．2C.3D．34．椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．5．已知椭圆G：x24＋y2＝1，过点(0，2)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)O为坐标原点，求△OAB的面积．6．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y＝x＋m相交于不同的两点M，N，问是否存在实数m使|AM|＝|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．答案即时达标对点练1.解析：选A因为直线y＝kx＋1过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆x29＋y24＝1的内部，故直线y＝kx＋1与椭圆x29＋y24＝1相交．2.解析：由x2m＋y23＝1，y＝x＋2，得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.又∵直线与椭圆有两个公共点，∴Δ＝(4m)2－4m(m＋3)＝16m2－4m2－12m＝12m2－12m0，解得m1或m0.又∵m0且m≠3，∴m1且m≠3.答案：(1，3)∪(3，＋∞)3.解析：选B∵|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，∴|AF1|＋|BF1|＝4×5－8＝12.4.解析：由x2＋4y2＝16，y＝12x＋1，消去y并化简得x2＋2x－6＝0.设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.∴弦长|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝54[]（x1＋x2）2－4x1x2＝54（4＋24）＝35.答案：355.解：设所求椭圆的方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．弦两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，由y2a2＋x2b2＝1及y＝3x－2得(a2＋9b2)x2－12b2x＋b2(4－a2)＝0，x1＋x2＝12b2a2＋9b2，由已知x1＋x22＝12，即12b2a2＋9b2＝1，所以a2＝3b2.又c2＝a2－b2＝50，所以得a2＝75，b2＝25，所以椭圆的方程为y275＋x225＝1.6.解析：易知点A(3，0)是椭圆的右焦点．答案：37.解析：由x24＋y23＝1可得F(－1，0)．设P(x，y)，－2≤x≤2，则＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋31－x24＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，取得最大值6.答案：68.解：∵直线AB的斜率为1，∴∠BAP＝45°，(1)∵P(0，1)，即b＝2，且B(3，1)．∵B在椭圆上，∴9a2＋14＝1，得a2＝12，∴椭圆C的标准方程为x212＋y24＝1.(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t－3)，∴t－3＝－b，即b＝3－t.显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得，9a2＋t2（3－t）2＝1，解得a2＝3（3－t）23－2t.∵a2b20，∴3（3－t）23－2t(3－t)20.∴33－2t1，即33－2t－1＝2t3－2t0，∴所求t的取值范围是0，32.能力提升综合练1.解析：选B因为直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，所以4m2＋n22，即m2＋n24，所以n24－m2，则m29＋n24m29＋4－m24＝1－536m21.所以点(m，n)在椭圆x29＋y24＝1内部，故过点(m，n)的直线与椭圆有2个交点．2.解析：选A方程可化为x23＋y28＝1，故椭圆焦点在y轴上，又a＝22，b＝3，所以－3≤m≤3，故4－23≤2m＋4≤23＋4.3.解析：选A设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：x22＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1，0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝43，y0＝13n.将x0，y0代入x22＋y2＝1，得12×432＋13n2＝1.解得n2＝1，∴||＝（2－1）2＋n2＝1＋1＝2.4.解析：直线y＝3(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝3c，所以该椭圆的离心率e＝2c2a＝2cc＋3c＝3－1.答案：3－15.解：(1)由已知得a＝2，b＝1，所以c＝a2－b2＝3.所以椭圆G的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e＝ca＝32.(2)设l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，由l与圆x2＋y2＝1相切得21＋k2＝1，解得k＝±3.将y＝±3x＋2代入x2＋4y2－4＝0，得13x2±163x＋12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝±16313，x1x2＝1213，|AB|＝2（x1－x2）2＝2（x1＋x2）2－4x1x2＝2163132－4×1213＝2413.又O到AB的距离d＝1.∴S△OAB＝12×|AB|×1＝1213.6解：(1)依题意可设椭圆方程为x2a2＋y2＝1，则右焦点F(a2－1，0)．由题设|a2－1＋22|2＝3，解得a2＝3，故所求椭圆的方程为x23＋y2＝1.(2)设P为弦MN的中点，由y＝x＋m，x23＋y2＝1，得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ0，即－2m2，所以xP＝xM＋xN2＝－3m4，从而yP＝xP＋m＝m4，所以kAP＝yP＋1xP＝m4＋1－3m4，又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，所以m4＋1－3m4＝－1，解得m＝2，所以不存在实数m使|AM|＝|AN|.