20172018学年高中数学人教A版选修22：课时跟踪检测（十二） 定积分的简单应用 Word版含解

课时跟踪检测（十二）定积分的简单应用层级一学业水平达标1．在下面所给图形的面积S及相应的表达式中，正确的有()A．①③B．②③C．①④D．③④解析：选D①应是S＝ab[f(x)－g(x)]dx，②应是S＝0822xdx－48(2x－8)dx，③和④正确．故选D.2．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是()A．31mB．36mC．38mD．40m解析：选BS＝03(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)30＝33＋32＝36(m)，故应选B.3.如图所示，阴影部分的面积是()A．23B．2－3C.323D.353解析：选CS＝-31(3－x2－2x)dx，即F(x)＝3x－13x3－x2，则F(1)＝3－13－1＝53，F(－3)＝－9＋9－9＝－9.∴S＝F(1)－F(－3)＝53＋9＝323.故应选C.4．由y＝x2，y＝14x2及x＝1围成的图形的面积S＝()A.14B.12C.13D．1解：选A图形如图所示，S＝01x2dx－0114x2dx＝0134x2dx＝14x310＝14.5．曲线y＝x3－3x和y＝x围成的图形面积为()A．4B．8C．10D．9解析：选B由y＝x3－3x，y＝x，解得x＝0，y＝0或x＝2，y＝2或x＝－2，y＝－2.∵两函数y＝x3－3x与y＝x均为奇函数，∴S＝202[x－(x3－3x)]dx＝2·02(4x－x3)dx＝22x2－14x420＝8，故选B.6．若某质点的初速度v(0)＝1，其加速度a(t)＝6t，做直线运动，则质点在t＝2s时的瞬时速度为________．解析：v(2)－v(0)＝02a(t)dt＝026tdt＝3t220＝12，所以v(2)＝v(0)＋3×22＝1＋12＝13.答案：137．一物体沿直线以速度v＝1＋tm/s运动，该物体运动开始后10s内所经过的路程是______．解析：S＝0101＋tdt＝23(1＋t)32100＝231132－1.答案：231132－18．由y＝1x，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为________．解析：画出曲线y＝1x(x0)及直线x＝1，x＝2，y＝0，则所求面积S为如图所示的阴影部分面积．∴S＝121xdx＝lnx21＝ln2－ln1＝ln2.答案：ln29．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．解：由y＝x＋3，y＝x2－2x＋3，解得x＝0及x＝3.从而所求图形的面积S＝03[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝03(－x2＋3x)dx＝－13x3＋32x230＝92.10.设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．解：(1)∵y＝f(x)是二次函数且f′(x)＝2x＋2，∴设f(x)＝x2＋2x＋c.又f(x)＝0有两个等根，∴4－4c＝0，∴c＝1，∴f(x)＝x2＋2x＋1.(2)y＝f(x)的图象与两坐标所围成的图形的面积S＝-10(x2＋2x＋1)dx＝13x3＋x2＋x0-1＝13.层级二应试能力达标1．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为()A．8JB．10JC．12JD．14J解析：选D由变力做功公式有：W＝13(4x－1)dx＝(2x2－x)31＝14(J)，故应选D.2．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为()A.12B．3－322C．6＋32D．6－32解析：选D3636tdt＝6t63＝6－32，故应选D.3．以初速40m/s竖直向上抛一物体，ts时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为()A.1603mB.803mC.403mD.203m解析：选A由v＝40－10t2＝0，得t2＝4，t＝2.∴h＝02(40－10t2)dt＝40t－103t320＝80－803＝1603(m)．故选A.4．(山东高考)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．22B．42C．2D．4解析：选D由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为024x－x3dx＝2x2－14x420＝4.5．椭圆x216＋y29＝1所围区域的面积为________．解析：由x216＋y29＝1，得y＝±3416－x2.又由椭圆的对称性知，椭圆的面积为S＝4043416－x2dx＝30416－x2dx.由y＝16－x2，得x2＋y2＝16(y≥0)．由定积分的几何意义知0416－x2dx表示由直线x＝0，x＝4和曲线x2＋y2＝16(y≥0)及x轴所围成图形的面积，∴0416－x2dx＝14×π×16＝4π，∴S＝3×4π＝12π.答案：12π6.如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为____________．解析：∵S阴＝201(e－ex)dx＝2(ex－ex)10＝2，S正方形＝e2，∴P＝2e2.答案：2e27．求由曲线xy＝1及直线x＝y，y＝3所围成平面图形的面积．解：作出曲线xy＝1，直线x＝y，y＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由xy＝1，y＝3，得x＝13，y＝3，故A13，3；由xy＝1，y＝x，得x＝1，y＝1或x＝－1，y＝－1(舍去)，故B(1,1)；由y＝x，y＝3得x＝3，y＝3，故C(3,3)，8．函数f(x)＝ax3＋bx2－3x，若f(x)为实数集R上的单调函数，且a≥－1，设点P的坐标为(b，a)，试求出点P的轨迹所形成的图形的面积S.解：当a＝0时，由f(x)在R上单调，知b＝0.当a≠0时，f(x)在R上单调⇔f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立．∵f′(x)＝3ax2＋2bx－3，∴Δ＝4b2＋36a≤0，a≥－1.∴a≤－19b2且a≥－1.因此满足条件的点P(b，a)在直角坐标平面xOy的轨迹所围成的图形是由曲线y＝－19x2与直线y＝－1所围成的封闭图形．联立y＝－19x2，y＝－1，解得x＝－3，y＝－1或x＝3，y＝－1，如图，其面积S＝3－31－19x2dx＝x－x3273-3＝(3－1)－(－3＋1)＝4.