20172018学年高中数学人教A版选修22：课时跟踪检测（十五） 综合法和分析法 Word版含解析

课时跟踪检测（十五）综合法和分析法层级一学业水平达标1．要证明a＋a＋7＜a＋3＋a＋4(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是()A．综合法B．类比法C．分析法D．归纳法解析：选C直接证明很难入手，由分析法的特点知用分析法最合理．2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证法解析：选B结合分析法及综合法的定义可知B正确．3．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件()A．a2＜b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2＞b2＋c2D．a2≤b2＋c2解析：选C由cosA＝b2＋c2－a22bc＜0，得b2＋c2＜a2.4．若a＝ln22，b＝ln33，c＝ln55，则()A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c解析：选C利用函数单调性．设f(x)＝lnxx，则f′(x)＝1－lnxx2，∴0＜x＜e时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x＞e时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．又a＝ln44，∴b＞a＞c.5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x20，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负解析：选A由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x20，可知x1－x2，f(x1)f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)0.6．命题“函数f(x)＝x－xlnx在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xlnx取导得f′(x)＝－lnx，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－lnx＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析：该证明过程符合综合法的特点．答案：综合法7．如果aa＋bb＞ab＋ba，则正数a，b应满足的条件是________．解析：∵aa＋bb－(ab＋ba)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)．∴只要a≠b，就有aa＋bb＞ab＋ba.答案：a≠b8．若不等式(－1)na＜2＋(－1)n＋1n对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：当n为偶数时，a＜2－1n，而2－1n≥2－12＝32，所以a＜32，当n为奇数时，a＞－2－1n，而－2－1n＜－2，所以a≥－2.综上可得，－2≤a＜32.答案：－2，329．求证：2cos(α－β)－sin(2α－β)sinα＝sinβsinα.证明：要证原等式，只需证：2cos(α－β)sinα－sin(2α－β)＝sinβ，①因为①左边＝2cos(α－β)sinα－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sinα－sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝cos(α－β)sinα－sin(α－β)cosα＝sinβ.所以①成立，所以原等式成立．10．已知数列{an}的首项a1＝5，Sn＋1＝2Sn＋n＋5，(n∈N*)．(1)证明数列{an＋1}是等比数列．(2)求an.解：(1)证明：由条件得Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋5(n≥2)①又Sn＋1＝2Sn＋n＋5，②②－①得an＋1＝2an＋1(n≥2)，所以an＋1＋1an＋1＝(2an＋1)＋1an＋1＝2(an＋1)an＋1＝2.又n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，且a1＝5，所以a2＝11，所以a2＋1a1＋1＝11＋15＋1＝2，所以数列{an＋1}是以2为公比的等比数列．(2)因为a1＋1＝6，所以an＋1＝6×2n－1＝3×2n，所以an＝3×2n－1.层级二应试能力达标1．使不等式1a＜1b成立的条件是()A．a＞bB．a＜bC．a＞b且ab＜0D．a＞b且ab＞0解析：选D要使1a＜1b，须使1a－1b＜0，即b－aab＜0.若a＞b，则b－a＜0，ab＞0；若a＜b，则b－a＞0，ab＜0.2．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是()A．sin(α＋β)＞sinα＋sinβB．sin(α＋β)＞cosα＋cosβC．cos(α＋β)＞sinα＋sinβD．cos(α＋β)＜cosα＋cosβ解析：选D因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cosα＞cos(α＋β)．又cosβ＞0，所以cosα＋cosβ＞cos(α＋β)．3．若两个正实数x，y满足1x＋4y＝1，且不等式x＋y4＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是()A．(－1,4)B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4,1)D．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选B∵x＞0，y＞0，1x＋4y＝1，∴x＋y4＝x＋y41x＋4y＝2＋y4x＋4xy≥2＋2y4x·4xy＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋y4的最小值为4，要使不等式m2－3m＞x＋y4有解，应有m2－3m＞4，∴m＜－1或m＞4，故选B.4．下列不等式不成立的是()A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋caB.a＋b＞a＋b(a＞0，b＞0)C.a－a－1＜a－2－a－3(a≥3)D.2＋10＞26解析：选D对A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；对B，∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(a＋b)2＝a＋b，∴a＋b＞a＋b；对C，要证a－a－1＜a－2－a－3(a≥3)成立，只需证明a＋a－3＜a－2＋a－1，两边平方得2a－3＋2a(a－3)＜2a－3＋2(a－2)(a－1)，即a(a－3)＜(a－2)(a－1)，两边平方得a2－3a＜a2－3a＋2，即0＜2.因为0＜2显然成立，所以原不等式成立；对于D，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)＜0，∴2＋10＜26，故D错误．5．已知函数f(x)＝2x，a，b为正实数，A＝fa＋b2，B＝f(ab)，C＝f2aba＋b，则A，B，C的大小关系是________．解析：∵a＋b2≥ab(a，b为正实数)，2aba＋b≤ab，且f(x)＝2x是增函数，∴f2aba＋b≤f(ab)≤fa＋b2，即C≤B≤A.答案：C≤B≤A6．如图所示，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．解析：要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.答案：AC⊥BD(答案不唯一)7．在锐角三角形ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.证明：在锐角三角形ABC中，∵A＋B＞π2，∴A＞π2－B.∴0＜π2－B＜A＜π2，又∵在0，π2内正弦函数y＝sinx是单调递增函数，∴sinA＞sinπ2－B＝cosB，即sinA＞cosB．①同理sinB＞cosC，②sinC＞cosA．③由①＋②＋③，得：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.8．已知n∈N，且n＞1，求证：logn(n＋1)＞logn＋1(n＋2)．证明：要证明logn(n＋1)＞logn＋1(n＋2)，即证明logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)＞0.(*)∵logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)＝1logn＋1n－logn＋1(n＋2)＝1－logn＋1n·logn＋1(n＋2)logn＋1n.又∵当n＞1时，logn＋1n＞0，且logn＋1(n＋2)＞0，logn＋1n≠logn＋1(n＋2)，∴logn＋1n·logn＋1(n＋2)＜14[logn＋1n＋logn＋1(n＋2)]2＝14log2n＋1[n(n＋2)]＝14log2n＋1(n2＋2n)＜14log2n＋1(n＋1)2＝1，故1－logn＋1n·logn＋1(n＋2)＞0，∴1－logn＋1n·logn＋1(n＋2)logn＋1n＞0.这说明(*)式成立，∴logn(n＋1)＞logn＋1(n＋2)．