20172018学年高中数学人教A版选修22：课时跟踪检测（一） 变化率问题 导数的概念 Word版

课时跟踪检测（一）变化率问题导数的概念层级一学业水平达标1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是()A．圆B．抛物线C．椭圆D．直线解析：选D当f(x)＝b时，瞬时变化率lim△x－0ΔyΔx＝lim△x－0b－bΔx＝0，所以f(x)的图象为一条直线．2．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为()A．2.1B．1.1C．2D．0解析：选AΔyΔx＝f1.1－f11.1－1＝0.210.1＝2.1.3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b解析：选Cf′(x0)＝lim△x－0fx0＋Δx－fx0Δx＝lim△x－0(a＋b·Δx)＝a.4．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为()A．6B．18C．54D．81解析：选B∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32＝18Δt＋3(Δt)2.∴ΔsΔt＝18＋3Δt.∴lim△x－0ΔsΔt＝lim△x－0(18＋3Δt)＝18，故应选B.5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝()A．Δx－3B．(Δx)2－3ΔxC．－3D．0解析：选Cf′(0)＝lim△x－00＋Δx2－30＋Δx－02＋3×0Δx＝lim△x－0Δx2－3ΔxΔx＝lim△x－0(Δx－3)＝－3.故选C.6．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.解析：∵f′(1)＝lim△x－0f1＋Δx－f1Δx＝lim△x－0a1＋Δx＋4－a＋4Δx＝a，∴a＝2.答案：27.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．解析：v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC，由图象知kOA＜kAB＜kBC.答案：v1＜v2＜v38．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______．解析：∵Δy＝43π×23－43π×13＝28π3，∴ΔyΔx＝28π32－1＝28π3.答案：28π39．质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(s单位：m，t单位：s)．若质点在t＝2时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．解：∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[a(2＋Δt)2＋1]－(a×22＋1)＝4aΔt＋a(Δt)2，∴ΔsΔt＝4a＋aΔt，∴在t＝2时，瞬时速度为lim△x－0ΔsΔt＝4a,4a＝8，∴a＝2.10．已知函数f(x)＝－1x，x0，1＋x2，x≤0求f′(4)·f′(－1)的值．解：当x＝4时，Δy＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx＝4＋Δx－224＋Δx＝Δx24＋Δx4＋Δx＋2.∴ΔyΔx＝124＋Δx4＋Δx＋2.∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0124＋Δx4＋Δx＋2＝12×4×4＋2＝116.∴f′(4)＝116.当x＝－1时，ΔyΔx＝f－1＋Δx－f－1Δx＝1＋－1＋Δx2－1－－12Δx＝Δx－2，由导数的定义，得f′(－1)＝limΔx→0(Δx－2)＝－2，∴f′(4)·f′(－1)＝116×(－2)＝－18.层级二应试能力达标1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx等于()A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2解析：选CΔyΔx＝f1＋Δx－f1Δx＝21＋Δx2－4＋2Δx＝2Δx2＋4ΔxΔx＝2Δx＋4.2.甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是()A．v甲＞v乙B．v甲＜v乙C．v甲＝v乙D．大小关系不确定解析：选B设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．3．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足limΔx→0fΔxΔx＝－1，则f′(0)＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：选B∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝limΔx→0f0＋Δx－f0Δx＝limΔx→0fΔxΔx＝－1，∴选B.4．已知f(x)＝2x，且f′(m)＝－12，则m的值等于()A．－4B．2C．－2D．±2解析：选Df′(x)＝lim△x－0fx＋Δx－fxΔx＝－2x2，于是有－2m2＝－12，m2＝4，解得m＝±2.5．已知函数f(x)＝－x2＋x在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t＝________.解析：∵Δy＝f(1)－f(t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t，∴ΔyΔx＝t2－t1－t＝－t.又∵ΔyΔx＝2，∴t＝－2.答案：－26．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.解析：ΔsΔt＝7t0＋Δt2＋8－7t20＋8Δt＝7Δt＋14t0，当limΔx→0(7Δt＋14t0)＝1时，t＝t0＝114.答案：1147．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．解：位移公式为s＝12at2，∵Δs＝12a(t0＋Δt)2－12at20＝at0Δt＋12a(Δt)2，∴ΔsΔt＝at0＋12aΔt，∴limΔx→0ΔsΔt＝limΔx→0at0＋12aΔt＝at0，已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.8．设函数f(x)在x0处可导，求下列各式的值．(1)limΔx→0fx0－mΔx－fx0Δx；(2limΔx→0fx0＋4Δx－fx0＋5ΔxΔx.解：(1)limΔx→0fx0－mΔx－fx0Δx＝－mlimΔx→0fx0－mΔx－fx0－mΔx＝－mf′(x0)．(2)原式＝limΔx→0fx0＋4Δx－fx0－[fx0＋5Δx－fx0]Δx＝limΔx→0fx0＋4Δx－fx0Δx－limΔx→0fx0＋5Δx－fx0Δx＝4limΔx→0fx0＋4Δx－fx04Δx－5limΔx→0fx0＋5Δx－fx05Δx＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)．