20172018学年高中数学人教A版选修22：阶段质量检测（一） 导数及其应用 Word版含解析

阶段质量检测（一）导数及其应用(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f(x)＝sinα－cosx，则f′(x)等于()A．sinxB．cosxC．cosα＋sinxD．2sinα＋cosx解析：选A函数是关于x的函数，因此sinα是一个常数．2．以正弦曲线y＝sinx上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A.0，π4∪3π4，πB．[0，π)C.π4，3π4D.0，π4∪π2，3π4解析：选Ay′＝cosx，∵cosx∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是0，π4∪3π4，π.3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A设极值点依次为x1，x2，x3且a＜x1＜x2＜x3＜b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点．4．函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间是()A.0，22B.22，＋∞C.－∞，－22，0，22D.－22，0，0，22解析：选A∵f′(x)＝2x－1x＝2x2－1x，当0＜x≤22时，f′(x)≤0，故f(x)的单调递减区间为0，22.5．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是()A．1B.12C．0D．－1解析：选Af′(x)＝3－12x2，令f′(x)＝0，则x＝－12(舍去)或x＝12，f(0)＝0，f(1)＝－1，f12＝32－12＝1，∴f(x)在[0,1]上的最大值为1.6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝()A．2B．3C．4D．5解析：选Df′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0.∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a＝5.7．函数f(x)＝13ax3＋12ax2－2ax＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是()A.－310，67B.－85，－316C.－83，－116D.－∞，－310∪67，＋∞解析：选Df′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(－2)f(1)0，即103a＋1－76a＋10，解得a－310或a67.故选D.8.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x－b)2＋c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是()解析：选D由导函数图象可知，当x0时，函数f(x)递减，排除A、B；当0xx1时，f′(x)0，函数f(x)递增．因此，当x＝0时，f(x)取得极小值，故选D.9．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)12，则满足2f(x)x＋1的x的集合为()A．{x|－1x1}B．{x|x1}C．{x|x－1或x1}D．{x|x1}解析：选B令g(x)＝2f(x)－x－1，∵f′(x)12，∴g′(x)＝2f′(x)－10，∴g(x)为单调增函数，∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，∴当x1时，g(x)0，即2f(x)x＋1，故选B.10．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产()A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台解析：选A设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3，y′＝36x－6x2，令y′＝0得x＝6或x＝0(舍)，f(x)在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x＝6时y取得最大值．11．已知定义在R上的函数f(x)，f(x)＋x·f′(x)＜0，若a＜b，则一定有()A．af(a)＜bf(b)B．af(b)＜bf(a)C．af(a)＞bf(b)D．af(b)＞bf(a)解析：选C[x·f(x)]′＝x′f(x)＋x·f′(x)＝f(x)＋x·f′(x)＜0，∴函数x·f(x)是R上的减函数，∵a＜b，∴af(a)＞bf(b)．12．若函数f(x)＝sinxx，且0x1x21，设a＝sinx1x1，b＝sinx2x2，则a，b的大小关系是()A．abB．abC．a＝bD．a，b的大小不能确定解析：选Af′(x)＝xcosx－sinxx2，令g(x)＝xcosx－sinx，则g′(x)＝－xsinx＋cosx－cosx＝－xsinx.∵0x1，∴g′(x)0，即函数g(x)在(0,1)上是减函数，得g(x)g(0)＝0，故f′(x)0，函数f(x)在(0,1)上是减函数，得ab，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上)13．若f(x)＝13x3－f′(1)x2＋x＋5，则f′(1)＝________.解析：f′(x)＝x2－2f′(1)x＋1，令x＝1，得f′(1)＝23.答案：2314．设a＞0，若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝__________.解析：S＝0axdx＝23x32a0＝23a32＝a2，∴a＝49.答案：4915．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈－π2，π2时，f(x)＝x＋sinx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是________．解析：f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因为f′(x)＝1＋cosx≥0，故f(x)在－π2，π2上是增函数，∵π2π－21π－30，∴f(π－2)f(1)f(π－3)，即cab.答案：cab16．若函数f(x)＝4xx2＋1在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是__________．解析：f′(x)＝4－4x2x2＋12，令f′(x)＞0，得－1＜x＜1，即函数f(x)的增区间为(－1,1)．又f(x)在(m,2m＋1)上单调递增，所以m≥－1，m＜2m＋1，2m＋1≤1.解得－1＜m≤0.答案：(－1,0]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.18.(本小题满分12分)(北京高考)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．解：(1)因为f(x)＝xea－x＋bx，所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.依题设有f2＝2e＋2，f′2＝e－1，即2ea－2＋2b＝2e＋2，－ea－2＋b＝e－1.解得a＝2，b＝e.(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex.由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号．令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g(x)0，x∈(－∞，＋∞)．综上可知，f′(x)0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．19．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．解：(1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6lnb＝0，解得a＝2，b＝1.(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)．设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1)＝6ln(x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．S′(x)＝6x＋1－2，令S′(x)＝0，得x＝2.当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．所以当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln3＋6≈12.6万元．所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋2ln(1－x)(a为常数)．(1)若f(x)在x＝－1处有极值，求a的值并判断x＝－1是极大值点还是极小值点；(2)若f(x)在[－3，－2]上是增函数，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝2ax－21－x，x∈(－∞，1)，f′(－1)＝－2a－1＝0，所以a＝－12.f′(x)＝－x－21－x＝x＋1x－21－x.∵x1，∴1－x0，x－20，因此，当x－1时f′(x)0，当－1x1时f′(x)0，∴x＝－1是f(x)的极大值点．(2)由题意f′(x)≥0在x∈[－3，－2]上恒成立，即2ax－21－x≥0在x∈[－3，－2]上恒成立∴a≤1－x2＋x在x∈[－3，－2]上恒成立，∵－x2＋x＝－x－122＋14∈[－12，－6]，∴1－x2＋x∈－16，－112，∴1－x2＋xmin＝－16，a≤－16.即a的取值范围为－∞，－16.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－mlnx，h(x)＝x2－x＋a.(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．解：(1)由f(x)≥h(x)，得m≤xlnx在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝xlnx，则g′(x)＝lnx－1lnx2，当x∈(1，e)时，g′(x)＜0；当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＞0，所以g(x)在(1，e)上递减，在(e，＋∞)上递增．故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.所以m≤e.即m的取值范围是(－∞，e]．(2)由已知可得k(x)＝x－2lnx－a.函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，