(完整版)最新数学分析知识点最全汇总

1第一章实数集与函数§1实数授课章节：第一章实数集与函数——§1实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一、实数及其性质21、实数(,qpqp有理数:任何有理数都可以用分数形式为整数且q0)表示，也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.无理数:用无限十进不循环小数表示.|Rxx为实数--全体实数的集合．[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：对于正有限小数012.,nxaaaa其中009,1,2,,,0,inainaa为非负整数，记011.(1)9999nnxaaaa；对于正整数0,xa则记0(1).9999xa；对于负有限小数（包括负整数）y，则先将y表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0表示为0＝0.0000例：2.0012.0009999；利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较1）定义1给定两个非负实数01.nxaaa，01.nybbb.其中32.99992.0012.00999932.9999；；300,ab为非负整数，,kkab(1,2,)k为整数，09,09kkab．若有,0,1,2,kkabk，则称x与y相等，记为xy；若00ab或存在非负整数l，使得,0,1,2,,kkabkl，而11llab，则称x大于y或y小于x，分别记为xy或yx．对于负实数x、y，若按上述规定分别有xy或xy，则分别称为xy与xy（或yx）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义2（不足近似与过剩近似）：01.nxaaa为非负实数，称有理数01.nnxaaa为实数x的n位不足近似；110nnnxx称为实数x的n位过剩近似，0,1,2,n.对于负实数01.nxaaa，其n位不足近似011.10nnnxaaa；n位过剩近似01.nnxaaa.注：实数x的不足近似nx当n增大时不减，即有012xxx；过剩近似nx当n增大时不增，即有012xxx．命题：记01.nxaaa，01.nybbb为两个实数，则xy的等价条件是：存在非负整数n，使nnxy（其中nx为x的n位不足近似，ny为y的n位过剩近似）．命题应用例1．设,xy为实数，xy，证明存在有理数r，满足xry．证明：由xy，知：存在非负整数n，使得nnxy．令12nnrxy，则r为有理数，且nnxxryy．即xry．43、实数常用性质（详见附录Ⅱ．289302PP）．1）封闭性（实数集R对,,,）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．2）有序性：,abR，关系,,ababab，三者必居其一，也只居其一.3）传递性：abcR，，，,abbcac若，则．4）阿基米德性：,,0abRbanN使得nab．5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．6）一一对应关系：实数集R与数轴上的点有着一一对应关系．例2．设,abR，证明：若对任何正数，有ab，则ab．（提示：反证法．利用“有序性”，取ab）二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数a的绝对值的定义为,0||0aaaaa．2、几何意义从数轴看，数a的绝对值||a就是点a到原点的距离．||xa表示就是数轴上点x与a之间的距离．3、性质1）||||0;||00aaaa（非负性）；2）||||aaa；3）||ahhah，||.(0)ahhahh；54）对任何,abR有||||||||||ababab（三角不等式）；5）||||||abab；6）||||aabb（0b）．三、几个重要不等式1、,222abba.1sinx.sinxx2、均值不等式:对,,,,21Rnaaa记,1)(121niiniannaaaaM(算术平均值),)(1121nniinniaaaaaG(几何平均值).1111111)(1121niiniiniananaaanaH(调和平均值)有平均值不等式:),()()(iiiaMaGaH即：121212111nnnnaaanaaanaaa等号当且仅当naaa21时成立.3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过),1x有不等式(1)1,.nxnxnN当1x且0x,Nn且2n时,有严格不等式.1)1(nxxn证：由01x且111)1(1)1(,01nnxnxx).1()1(xnxnnn.1)1(nxxn4、利用二项展开式得到的不等式:对,0h由二项展开式6,!3)2)(1(!2)1(1)1(32nnhhnnnhnnnhh有nh)1(上式右端任何一项.［练习］P4．5［课堂小结］：实数：一实数及其性质二绝对值与不等式.[作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3§2数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下7自学的效果如何！1、证明：对任何xR有：(1)|1||2|1xx；(2)|1||2||3|2xxx.（111(2)12,121xxxxx（））（2121,231,232.xxxxxx（）三式相加化简即可）2、证明：||||||xyxy.3、设,abR，证明：若对任何正数有ab，则ab.4、设,,xyRxy，证明：存在有理数r满足yrx.[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容：1、先定义实数集R中的两类主要的数集——区间与邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一、区间与邻域1、区间（用来表示变量的变化范围）设,abR且ab.有限区间区间无限区间，其中8|(,)|[,]|[,)|(,]xRaxbabxRaxbabxRaxbabxRaxbab开区间:闭区间:有限区间闭开区间:半开半闭区间开闭区间:|[,).|(,].|(,).|(,).|.xRxaaxRxaaxRxaaxRxaaxRxR无限区间2、邻域联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与a邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（1）a的邻域：设,0aR，满足不等式||xa的全体实数x的集合称为点a的邻域，记作(;)Ua，或简记为()Ua，即(;)||(,)Uaxxaaa.其中a称为该邻域的中心，称为该邻域的半径.（2）点a的空心邻域(;)0||(,)(,)()ooUaxxaaaaaUa.（3）a的右邻域和点a的空心右邻域00(;)[,)();(;)(,)().UaaaUaxaxaUaaaUaxaxa（4）点a的左邻域和点a的空心左邻域00(;)(,]();(;)(,)().UaaaUaxaxaUaaaUaxaxa9（5）邻域，邻域，邻域()||,UxxM（其中M为充分大的正数）；(),UxxM()UxxM二、有界集与无界集1、定义1（上、下界）：设S为R中的一个数集.若存在数()ML，使得一切xS都有()xMxL，则称S为有上（下）界的数集.数()ML称为S的上界（下界）；若数集S既有上界，又有下界，则称S为有界集.闭区间,ab、开区间baba,(),(为有限数）、邻域等都是有界数集，集合),(,sinxxyyE也是有界数集.若数集S不是有界集，则称S为无界集.),0(,)0,(,),(等都是无界数集,集合)1,0(,1xxyyE也是无界数集.注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S的关系如何？看下例：例1讨论数集|Nnn为正整数的有界性.解：任取0nN，显然有01n，所以N有下界1；但N无上界.因为假设N有上界M,则M0，按定义，对任意0nN，都有0nM，这是不可能的，如取0[]1nMMM（符号表示不超过的最大整数），则0nN，且0nM.10综上所述知：N是有下界无上界的数集，因而是无界集.例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.[问题]：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一，有无穷多个).三、确界与确界原理1、定义定义2（上确界）设S是R中的一个数集，若数满足：(1)对一切,xS有x（即是S的上界）;(2)对任何，存在0xS，使得0x（即是S的上界中最小的一个），则称数为数集S的上确界，记作sup.S从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.命题1supME充要条件1）,xExM；2）00,,oxSxM使得.证明：必要性，用反证法.设2）不成立，则00,,oxExM使得均有，与M是上界中最小的一个矛盾.充分性（用反证法），设M不是E的上确界，即0M是上界，但0MM.令00MM，由2），0xE，使得00xMM，与0M是E的上界矛盾.定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数满足：（1）对一切,xS有x（即是S的下界）；（2）对任何，存在