崇文一模数学理有答案

北京市崇文区2009—2010学年度第二学期统一练习（一）数学试题（理）2010．4本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集UR，集合|12Axx，2|680Bxxx，则集合UABð（）A．|14xxB．|14xxC．|23xxD．|23xx2．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽出一个容量为25的样本，应抽取不超过45岁的职工人数为（）A．5B．10C．15D．503．已知PA是O的切线，切点为A，2PA，AC是O的直径，PC交O于点B，30PAB，则O的半径为（）A．1B．2C．3D．234．已知等比数列na为递增数列，且373aa，282aa，则117aa（）A．2B．43C．32D．455．已知,mn是两条不同直线，,,是三个不同平面，下列命题中正确的为（）A．若,,则B．若,,mn则mnC．若,mn，则mnD．若,,mm则6．设33,(3),32xyxyxyMNP（其中0xy），则,,MNP大小关系为（）A．MNPB．NPMC．PMND．PNM7．2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为（）A．36B．42C．48D．608．设定义在R上的函数1,(1),1()1,(1)xxfxx．若关于x的方程2()()0fxbfxc有3个不同的实数解1x，2x，3x，则123xxx等于（）A．3B．2C．1bD．c第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9．如果复数2i1imm（其中i是虚数单位）是实数，则实数m___________．10．若123()axx的展开式中的常数项为220，则实数a___________．11．将参数方程12cos,2sin,xy（为参数）化成普通方程为．12．某程序框图如图所示，该程序运行后输出,MN的值分别为．13．若数列{}na的前n项和为nS，则11,(1),,(2)nnnSnaSSn．若数列{}nb的前n项积为nT，类比上述结果，则nb=_________；此时，若2()nTnnN，则nb=___________．14．定义在R上的函数满足1(0)0,()(1)1,()()52xffxfxffx，且当1201xx时，12()()fxfx，则1()2010f_________________．三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．（本小题共12分）在ABC中，角CBA,,所对的边分别为cba,,，满足5sin25A，且ABC的面积为2．（Ⅰ）求bc的值；（Ⅱ）若6cb，求a的值．16．（本小题共13分）为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为10,15，15,20，20,25,25,30，[30,35],频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在20,25之间的工人有6位．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）工厂规定从各组中任选1人进行再培训，则选取5人的概率是多少？17．（本小题共14分）三棱柱111CBAABC中，侧棱与底面垂直，90ABC，12ABBCBB，,MN分别是AB，1AC的中点．（Ⅰ）求证：MN平面11BBCC；（Ⅱ）求证：MN平面CBA11；（Ⅲ）求二面角11ACBM的余弦值．18．(本小题共14分）已知322()69fxxaxax（aR）．（Ⅰ）求函数()fx的单调递减区间；（Ⅱ）当0a时，若对0,3x有()4fx恒成立，求实数a的取值范围．19．（本小题共14分）已知抛物线24yx，点(1,0)M关于y轴的对称点为N，直线l过点M交抛物线于,AB两点．（Ⅰ）证明：直线,NANB的斜率互为相反数；（Ⅱ）求ANB面积的最小值；（Ⅲ）当点M的坐标为(,0)(0mm，且1)m．根据（Ⅰ）（Ⅱ）推测并回答下列问题（不必说明理由）：①直线,NANB的斜率是否互为相反数？②ANB面积的最小值是多少？20．(本小题共13分)已知数列na中，11a，21(0aaa且1)a，其前n项和为nS，且当2n时，1111nnnSaa．（Ⅰ）求证：数列nS是等比数列；（Ⅱ）求数列na的通项公式；（Ⅲ）若4a，令19(3)(3)nnnnabaa，记数列nb的前n项和为nT．设是整数，问是否存在正整数n，使等式13758nnTa成立？若存在，求出n和相应的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1—4DCCA5—8BDCA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．110．111．2214xy12．13,2113．11(1)(2)nnnTnbTnT；221(1)(2)1nnbnnn14．132三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（共12分）解：（Ⅰ）∵,552sinAA0∴25cos25A.∴4sin2sincos225AAA.∵2sin21AbcSABC，∴5bc.--------------------6分（Ⅱ）∵,552sinA∴532sin21cos2AA.∵5bc，6cb，∴Abccbacos2222)cos1(2)(2Abccb20∴52a.-----------12分16．（共13分）解：（Ⅰ）根据直方图可知产品件数在20,25内的人数为50.066m，则20m（位）．----------------6分（Ⅱ）根据直方图可知产品件数在10,15，15,20，20,25,25,30，[30,35],组内的人数分别为2，4，6,5，3．设选取这5人不在同组为B事件，则5202465315()323PBC．答：选取这5人不在同组的概率为15323．----------------13分17．（共14分）（Ⅰ）证明：连结1BC，1AC．在1ABC中，,MN是AB,CA1的中点，||MN1BC．又MN平面11BBCC，||MN平面11BBCC．--------------------4分（Ⅱ）如图，以1B为原点建立空间直角坐标系xyzB1．则)0,0,0(1B，(0,2,2)C，1(2,0,0)A，(1,0,2)M，(1,1,1)N1BC(0,2,2)，)0,0,2(11BA，(0,1,1)NM．设平面CBA11的法向量为(,,)xyzn．111000BCxyzABnn令1z，则0,1xy，(0,1,1)n．NMn=．MN平面CBA11．--------------------9分（Ⅲ）设平面CMB1的法向量为000(,,)xyzm1(1,0,2)BM．001001200xzBCyzBMmm令01z，则002,1xy(2,1,1)m．23cos,||||326nmnmnm．所求二面角11ACBM的余弦值为33．--------------------14分18．（共14分）解：（Ⅰ）22'()31293()(3)0fxxaxaxaxa（1）当3aa，即0a时，2'()30fxx，不成立．（2）当3aa，即0a时，单调减区间为(3,)aa．（3）当3aa，即0a时，单调减区间为(,3)aa．-------------------5分（Ⅱ）22'()31293()(3)fxxaxaxaxa，()fx在(0,)a上递增，在(,3)aa上递减，在(3,)a上递增．（1）当3a时，函数()fx在[0,3]上递增，所以函数()fx在[0,3]上的最大值是(3)f，若对0,3x有()4fx恒成立，需要有(3)4,3,fa解得a．（2）当13a时，有33aa，此时函数()fx在[0,]a上递增，在[,3]a上递减，所以函数()fx在[0,3]上的最大值是()fa，若对0,3x有()4fx恒成立，需要有()4,13,faa解得1a．（3）当1a时，有33a，此时函数()fx在[,3]aa上递减，在[3,3]a上递增，所以函数()fx在[0,3]上的最大值是()fa或者是(3)f．由2()(3)(3)(43)fafaa，①304a时，()(3)faf，若对0,3x有()4fx恒成立，需要有(3)4,30,4fa解得233[1,]94a．②314a时，()(3)faf，若对0,3x有()4fx恒成立，需要有()4,31,4faa解得3(,1)4a．综上所述，23[1,1]9a．-------------14分19．（共14分）解：（Ⅰ）设直线l的方程为1(0)ykxk．由21,4,ykxyx可得2222240kxkxk．设1122,,,AxyBxy，则21212224,1kxxxxk．124yy1,0N1212221212441144NANByyyykkxxyy2212212112222212124444(4444)04444yyyyyyyyyyyy．又当l垂直于x轴时，点,AB关于x轴，显然0,NANBNANBkkkk．综上，0,NANBNANBkkkk．----------------5分（Ⅱ）212121212448NABSyyyyyyxx=21414k．当l垂直于x轴时，4NABS．∴ANB面积的最小值等于4．----------------10分（Ⅲ）推测：①NANBkk；②ANB面积的最小值为4mm．----------------14分20．（共13分）解：（Ⅰ）当2n时，11+111111nnnnnnnSaaSSSS，化简得211(2)nnnSSSn，又由1210,0SSa，可推知对一切正整数n均有0nS，∴数列nS是等比数列．----------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列nS的首项为1，公比为a，∴1nnSa．当2n时，21(1)nnnnaSSaa，又111aS，∴21,(1),(1),(2).nnnaaan----------8分（Ⅲ）当4,2an时，234nna，此时22119934(3)(3)(343)(343)nnnnnnnabaa221213411(41)(41)4141nnnnn，又111293(3)(3)8abaa，∴213,(1)811,(2)4141nnnnbn1138Tb，当2n时，1222212131111()()8414141