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第二章本章检测一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1.若椭圆22221(0)xyabab的离心率是32，则双曲线22221xyab的离心率是（）A.54B.52C.32D.542.已知双曲线中心在原点且一个焦点为(7,0)F，直线1yx=-与其交于MN、两点，MN中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是（）A.22134xy-=B.22143xy-=C.22152xy-=D.22125xy-=3.若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆22162xy的右焦点重合，则p的值为()A．－2B．2C．－4D．44．设双曲线22221xyab(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.54B．5C.52D.55.以椭圆的右焦点为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点，椭圆的左焦点为，且直线与此圆相切，则椭圆的离心率为（）A.22B.32C.2－3D.3－１6.已知△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是()A.221916xyB.221169xyC.221916xy(x3)D.221169xy(x4)建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分7.已知A，B为抛物线C：y2＝4x上的两个不同的点，F为抛物线C的焦点，若4FAFB，则直线AB的斜率为()A．±23B．±32C．±34D．±438.若点P到A(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，且点P到直线l：x－y＝0的距离等于582，则满足条件的点P的个数是()A．1B．2C．3D．49.已知双曲线C：x2－24y＝1，过点(1,1)作直线l，使直线l与双曲线C只有一个交点，满足这个条件的直线l共有()A．1条B．2条C．3条D．4条10.双曲线22221xyab-=的左焦点为，顶点为，是双曲线上任意一点，则分别以线段、为直径的两圆位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.以上情况都有可能11.已知方程22axbyab+=和0axbyc++=，其中,ab≠0,a≠b,c＞0，它们所表示的曲线可能是下列图象中的（）12.已知抛物线上一点0到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是（）A.B.C.D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确的答案填到横线上）ABCD13.已知椭圆221xymn+=与双曲线2xp－2yq有共同的焦点，是椭圆和双曲线的一个交点，则．14.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为.15．平面上有三个点A(－2，y)，B0,2y，C(x，y)，若ABBC⊥，则动点C的轨迹方程是________．16.已知双曲线方程是x2－22y＝1，过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，并使P(2,1)为P1P2的中点，则此直线方程是________．三、解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程18．（12分）设A，B分别为双曲线22221xyab(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝33x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OM→＋ON→＝tOD→，求t的值及点D的坐标．19．（12分）如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．20.（12分）已知定点A(0，－1)，点B在圆F：x2＋(y－1)2＝16上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于P.(1)求动点P的轨迹E的方程；若曲线Q：x2－2ax＋y2＋a2＝1被轨迹E包围着，求实数a的最小值.(2)已知M(－2,0)，N(2,0)，动点G在圆F内，且满足|MG|·|NG|＝|OG|2(O为坐标原点)，求·MGNG的取值范围．21.（12分）已知椭圆22221xyab+=(0)ab的离心率63e=，过点和的直线与原点的距离为32．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点，若直线与椭圆交于两点．问：是否存在，使以为直径的圆过点?请说明理由22.（12分）设分别为椭圆：22221xyab+=(0)ab的左、右两个焦点.（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标.（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.（3）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值.试对双曲线22221xyab-=写出类似的性质，并加以证明一、选择题1.B解析：由椭圆22221(0)xyabab+=的离心率为，得.设,则,.又双曲线中，.2.D解析：设双曲线方程为．将代入，整理得．由根与系数的关系得，则．又，解得，，所以双曲线的方程是3.D解析:因为椭圆22162xy的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2＝2px的焦点为(2,0)，则p＝4.4.D解析：双曲线22221xyab的一条渐近线为y＝bax，由方程组2,1byxayx消去y得，x2－x＋1＝0有唯一解，所以Δ＝2ba－4＝0，ba＝2，e＝ca＝22aba＝21ba＝5.5.D解析：由题意得，，.在直角三角形中,,即,整理得.等式两边同除以，得,即，解得或（舍去）.故6.C解析:如图,|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是：以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为221916xy(x3)．7.D解析:由题意知焦点F(1,0)，直线AB的斜率必存在且不为0，故可设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入y2＝4x中化简得ky2－4y－4k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4k，①y1y2＝－4.②又由FA→＝－4FB→可得y1＝－4y2，③联立①②③式解得k＝±43.8.B解析：点P的轨迹方程为y2＝4x，设P(t2，2t)，则点P到直线x－y＝0的距离为|t2－2t|2，令|t2－2t|2＝582，解得4t2－8t±5＝0，∴t＝－12或t＝52，共2个．故选B.9.D解析：数形结合可知过点(1,1)，当斜率不存在时和与两条渐近线平行时所在的直线都符合．除此之外还应考虑设直线方程y＝kx＋1－k与双曲线方程联立消元利用判别式为0可求得k＝52也符合．所以有4条．10.B解析：如图所示，设的中点为，若在双曲线左支上，则，即圆心距为两圆半径之和，此时两圆外切；若在双曲线右支上，同理可求得，此时两圆内切，所以两圆位置关系为相切.11.B解析：方程可化成，可化成.对于A：由双曲线图象可知：，，∴，即直线的斜率应大于0，故错；对于C：由椭圆图象可知：，，∴，即直线的斜率应小于0，故错；同理错.所以选B．12.B解析：依题意知，所以，所以，所以，点的坐标为.又，所以直线的斜率为.由题意得，解得.二、填空题13.解析：因为椭圆221xymn+=与双曲线221xypq-=有共同的焦点，所以其焦点位于轴上，由其对称性可设在双曲线的右支上，左、右焦点分别为,由椭圆以及双曲线的定义可得，，由①②得，．所以．14.6解析：由题意，得F(-1，0)，设点，，则有=1，解得=.因为＝，，=，，所以此二次函数对应的抛物线的对称轴为=-2，因为-2≤≤2，所以当=2时，取得最大值+2+3＝6.15.y2＝8x解析:AB＝0,2y－(－2，y)＝2,2y，BC＝(x，y)－0,2y＝,2yx.∵ABBC，∴0ABBC，∴2,2y·,2yx＝0，即y2＝8x.∴动点C的轨迹方程为y2＝8x.16.4x－y－7＝0解析：设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由221112yx，222212yx，得k＝2121212122442xxyyxxyy，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x＋51＝0，因为Δ＞0，故此直线满足条件．三、解答题17.解：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.这表明动点M到两定点C2、C1的距离的差是常数2，且小于|C1C2|＝6.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，这里a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为x2－28y＝1(x≤－1)．18.解：(1)由题意知a＝23，∴一条渐近线为y＝b23x，即bx－23y＝0，∴|bc|b2＋12＝3，∴b2＝3，∴双曲线的方程为221123xy.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，将直线方程代入双曲线方程得x2－163x＋84＝0，则x1＋x2＝163，y1＋y2＝12，∴00220043,31,123xyxy∴0043,3,xy∴t＝4，点D的坐标为(43，3)．19.解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝1121yx(x1≠1)，kPB＝2221yx(x2≠1)，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB.由点A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y21＝4x1，①y22＝4x2，②∴12221222111144yyyy，∴y1＋2＝－(y2＋2)．∴y1＋y2＝－4.由①－②得，y21－y22＝4(x1－x2)，∴kAB＝12121241yyxxyy(x1≠x2)．20.解：(1)由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝4|AF|＝2，∴动点P的轨迹E是以A、F为焦点的椭圆．设该椭圆的方程为22221yxab(ab0)，则2a＝4,2c＝2，即a＝2，c＝1，故b2＝a2－c2＝3，∴动点P的轨迹E的方程为22143yx.曲线Q:x2－2ax＋y2＋a2＝1,即(x－a)2＋y2＝1，∴曲线Q是圆心为(a,0)，半径为1的圆．而轨迹E为焦点在y轴上的椭圆，其左、右顶点分别为(－3，0)，(3，0)．若曲线Q被轨迹E包围着，则－3＋1≤a≤3－1，∴a的最小值为－3＋1.(2)设G(x，y)，由|MG|·|NG|＝|OG|2得：2222·(2)(2)xyxy＝x2＋y2.化简得x2－y2＝2，即x2＝y2＋2，∴·MGNG＝(x＋2，y)·(x－2，y)＝x2＋y2－4＝2(y2－1)．∵点G在圆F：x2＋(y－1)2＝16内，∴x2＋(y－1)216，∴0≤(y－1)216⇒－3y5⇒0≤y225，∴－2≤2(y2－1)48，∴•MGNG的取值范围为[－2,48)．21.解：（1）直线的方