房山区2012高三一模数学试题及答案(理科)

北京市房山区2012年高三第一次模拟试题高三数学(理科)考生须知1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分,考试时间为120分钟。2.第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置，在试卷上作答无效。3.考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求自己保存好。第I卷选择题（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上。1.已知集合2,0,250,,,MaNxxxxMNaZ如果则等于（）（A）1（B）2（C）12或（D）252.如果(1,)ak，(,4),bk那么“a∥b”是“2k”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件3.如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于,BC两点，3,1PAPB，则ABC=()（A）70（B）60（C）45（D）304.在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1,3).若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是（）（A）(2,)3（B）4(2,)3（C）(1,)3（D）4(2,)35.执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（）（A）5（B）6（C）7是（D）8否6.已知函数0,120,12)(22xxxxxxxf，则对任意R21,xx，若120xx，下列不等式成立的是()（A）12()()0fxfx（B）12()()0fxfx（C）12()()0fxfx（D）12()()0fxfx7.直线3ykx与圆42122yx相交于NM,两点，若23MN，则k的取值范围是()（A）12(,)5（B）12(,]5（C）12(,)5（D）12(,]58.如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则OCOB的最大值是（）（A）2（B）12（C）（D）4第II卷非选择题(共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在答题卡上的指定位置。9.i是虚数单位，则1ii__.10.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为.11．已知函数xxfsin（0,0）的图象如图所示，则__，=__.12.如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有种.13.设)(xf是定义在R上不为零的函数，对任意Ryx,，都有)()()(yxfyfxf，若))((,211*Nnnfaan，则数列}{na的前n项和的取值范围是.14.F是抛物线22ypx0p的焦点，过焦点F且倾斜角为的直线交抛物线于,AB两点，设,AFaBFb，则：①若60且ba，则ba的值为______；②ba______（用p和表示）.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15．（本小题共13分）已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a,b，c，tantan33tantanABAB,,2a19c.（Ⅰ）求tan()AB的值；（Ⅱ）求ABC的面积.16.（本小题共13分）今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：高一年级高二年级高三年级10人6人4人（I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；（II）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.17.（本小题共14分）在直三棱柱111ABCABC中，1BCCCAB=2,BCAB.点NM,分别是1CC,CB1的中点，G是棱AB上的动点.（I）求证：CB1平面BNG；(II)若CG//平面MAB1，试确定G点的位置，并给出证明；(III)求二面角1MABB的余弦值.18．（本小题共13分）已知函数mxxxf)1ln()(．（I）当1m时，求函数)(xf的单调递减区间；（II）求函数)(xf的极值；（III）若函数()fx在区间20,1e上恰有两个零点，求m的取值范围．19.（本小题共14分）已知椭圆G的中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点为0,1A，离心率为36．（I）求椭圆G的方程；（II）设直线mkxy与椭圆相交于不同的两点,MN．当ANAM时，求m的取值范围．20．（本小题共13分）在直角坐标平面上有一点列),(,),(),,(222111nnnyxPyxPyxP，对一切正整数n，点nP位于函数4133xy的图象上，且nP的横坐标构成以25为首项，1为公差的等差数列nx．（I）求点nP的坐标；（II）设抛物线列,,,,,321ncccc,中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线nc的顶点为nP，且过点)1,0(2nDn，记与抛物线nc相切于nD的直线的斜率为nk，求：nnkkkkkk13221111；（III）设**NNnyyyTnxxxSnn,4|,,2|，等差数列na的任一项naST，其中1a是ST中的最大数，12526510a，求na的通项公式．北京市房山区2012高三第一次模拟试题参考答案高三数学(理科)一、选择题（每题5分，共40分）题号12345678答案CBBACDBA二、填空题（每题5分，共30分）9．i2121;10.32;11.58,910;12.120；13.1,21;14.①3；②2sin2pAB或22tan1tan2p三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。共80分）15．（本小题共13分）解：（I）解tantan33tantanABAB3(1tantan)ABtantantan()1tantanABABAB3……………………5分（II）由（I）知60AB，120C……………………7分Cabbaccos2222∴21224192bb∴3b……………………10分∴233221sin21CabSABC233……………………13分16．（本小题共13分）解：（I）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A，则3815320210110CCCAP答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为3815.………………………4分（II）解法1：的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为31.所以………………………6分8116323104004CP;8132323113114CP;2788124323122224CP;818323131334CP;811323140444CP.………………………11分随机变量的分布列为：01234P81168132278818811………………………12分所以3481148183812428132181160E……………………13分解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为31.…………………5分则随机变量服从参数为4，31的二项分布，即～)31,4(B.……………7分随机变量的分布列为：01234P81168132278818811所以34314npE…………………13分17．（本小题共14分）(I)证明：∵在直三棱柱111ABCABC中，1CCBC，点N是CB1的中点，∴CBBN1…………………………1分BCAB,1BBAB,BBCBB1∴AB⊥平面11BCCB………………………2分CB1平面11BCCB∴ABCB1，即GBCB1…………………3分又BBGBN∴CB1平面BNG…………………………………4分（II）当G是棱AB的中点时，CG//平面MAB1.……………………………5分证明如下:连结1AB,取1AB的中点H，连接GCHMHG,,,则HG为BAB1的中位线∴GH∥1BB，121BBGH…………………6分∵由已知条件，11BCCB为正方形∴1CC∥1BB，11BBCC∵M为1CC的中点，∴121CCCM……………………7分∴MC∥GH，且GHMC∴四边形HGCM为平行四边形∴GC∥HM又∵MABHMMABGC11,平面平面……………………8分∴CG//平面MAB1……………………9分(III)∵直三棱柱111ABCABC且BCAB依题意，如图：以1B为原点建立空间直角坐标系1Bxyz，……………………10分1(0,0,0)B,(0,2,0)B,)0,1,2(M,(0,2,2)A,1(2,0,0)C则1(0,2,2)BA，)0,1,2(1MB设平面1BAM的法向量(,,)nxyz，则1100nBAnBM,即00222xyzy，令1x，有)2,2,1(n……………………12分又平面1BAB的法向量为11(2,0,0)BC，11cos,BCn=1111BCnBCn=31，……………………13分设二面角1MABB的平面角为，且为锐角111coscos,3BCn．……………………14分18．（本小题共13分）解：（I）依题意，函数()fx的定义域为,1，当1m时，()ln(1)fxxx，1()11fxx……………………2分由()0fx得1101x，即01xx解得0x或1x，又1x，0x()fx的单调递减区间为(0,)．……………………4分（II）mxxf11)(，)1(x（1）0m时，0)(xf恒成立)(xf在),1(上单调递增，无极值.……………………6分（2）0m时，由于111m所以)(xf在11,1m上单调递增，在,11m上单调递减，从而1ln)11()(mmmfxf极大值．……………………9分（III）由（II）问显然可知，当0m时，()fx在区间20,1e上为增函数，在区间20,1e不可能恰有两个零点．……………………10分当0m时，由（II）问知()=fx极大值1(1)fm，又(0)0f，0为()fx的一个零点．……………………11分若()fx在20,1e恰有两个零点，只需22(1)01011feem即222(1)011meme2211me……………………13分（注明：如有其它解法，酌情给分）19．（本小题共14分）解：（I）依题意可设椭圆方程为1222yax，则离心率为ace36故3222ac，而12b，解得32a，……………………4分故所求椭圆的方程为1322yx.……………………5分（II）设PPMMNNPxyMxyNxy，、，、，，P为弦MN的中点，由1322yxmkxy得0)1(36)13(222mmkxxk，直线与椭圆相交，2226431310mkkm1322km，①…………7分23231MNPxxmkxk