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第1页（共22页）2015-2016学年江西省新余市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|2x＞1}，B={x|x＜1}，则A∩B=（）A．{x|x＞1}B．{x|x＞0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＜1}2．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若复数z满足（2﹣5i）=29，则z=（）A．2﹣5iB．2+5iC．﹣2﹣5iD．﹣2+5i3．已知命题p：“存在x0∈[1，+∞），使得（log23）≥1”，则下列说法正确的是（）A．p是假命题；￢p“任意x∈[1，+∞），都有（log23）x＜1”B．p是真命题；￢p“不存在x0∈[1，+∞），使得（log23）＜1”C．p是真命题；￢p“任意x∈[1，+∞），都有（log23）x＜1”D．p是假命题；￢p“任意x∈（﹣∞，1），都有（log23）x＜1”4．设随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞2）=0.3，则P（ξ＜2μ+1）=（）A．0.4B．0.5C．0.6D．0.75．已知三棱锥的主视图与俯视图如图，俯视图是边长是2的正三角形，那么该三棱锥的左视图可能为（）A．B．C．D．6．如图给出的是计算+++…+的值的一个程序框图，则判断框内可填入的条件是（）A．i≤1006B．i≤1007C．i＞1007D．i＞1006第2页（共22页）7．已知x，y满足，且z=2x+y最大值是最小值的2倍，则a的值是（）A．2B．C．D．8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．已知向量，是单位向量，若=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+|的取值范围是（）A．[，5]B．[，]C．[，]D．[，]10．已知点A、B、C、D在同一球面上，AB=3，BC=4，AC=5，若四面体ABCD体积的最大值为10，则这个球的表面积为（）A．B．C．D．11．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的一个交点，连接PF2并延长，与双曲线交于点Q，若|PF1|=|QF2|，则直线PF2的斜率为（）A．﹣2B．﹣3C．﹣1D．﹣12．已知函数f（x）=x﹣lnx+k，在区间[，e]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则k的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，e﹣3）D．（e﹣3，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设X是离散型随机变量，其分布列为其中a≠0，b≠0，则+的最小值为X012Pab第3页（共22页）14．若函数f（x）=的图象关于y轴对称，则a的值为．15．已知（1﹣x﹣2y）5的展开式中不含x项的系数的和为m，则xmdx=．16．已知等差数列{an}中，a16=，若函数f（x）=sin2x﹣2cos2，cn=f（an），则数列{cn}的前31的和为．三、解答题（共5小题，满分60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．如图，在四边形ABCD中，AB=4，BC=，CD=，∠A=，cos∠ADB=．（1）求BD得长；（2）求∠ABC+∠ADC的值．18．某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如图：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．第4页（共22页）19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAC⊥底面ABCD，BC=CD=AC=2，（1）证明：AP⊥BD．（2）若AP=，且三棱锥B﹣APC的体积为2时，求二面角A﹣BP﹣C的余弦值．20．设抛物线C1：y2=4x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2，椭圆C2以F1，F2为焦点且椭圆C2上的点到F1的距离的最大值为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l经过椭圆C2的右焦点F2，与抛物线C1交于A1、A2两点，与椭圆C2交于B1、B2两点，当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|的长；（3）若M是椭圆上的动点，以M为圆心，MF2为半径作⊙M是否存在定圆⊙N，使得⊙M与⊙N恒相切，若存在，求出⊙N的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=ex﹣kx（x∈R）（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＞0且对任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）=f（x）+f（﹣x），求证：F（1）•F（2）…F（n）＞（en+1）+2）（n∈N*）．选做题（请从22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知C点在⊙O直径的延长线上，CA切⊙O于A点，DC是∠ACB的平分线，交AE于F点，交AB于D点．第5页（共22页）（1）求∠ADF的度数；（2）若AB=AC，求AC：BC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|，x∈R（1）求不等式|f（x）﹣2|≤5的解集；（2）若g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．第6页（共22页）2015-2016学年江西省新余市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|2x＞1}，B={x|x＜1}，则A∩B=（）A．{x|x＞1}B．{x|x＞0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】解指数不等式可以求出集合A，进而根据集合交集及其运算，求出A∩B．【解答】解：∵集合B={x|2x＞1}=（0，+∞），又B={x|x＜1}，故A∩B={x|0＜x＜1}故选C．2．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若复数z满足（2﹣5i）=29，则z=（）A．2﹣5iB．2+5iC．﹣2﹣5iD．﹣2+5i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（2﹣5i）=29，得=2+5i．∴．故选：A．3．已知命题p：“存在x0∈[1，+∞），使得（log23）≥1”，则下列说法正确的是（）A．p是假命题；￢p“任意x∈[1，+∞），都有（log23）x＜1”B．p是真命题；￢p“不存在x0∈[1，+∞），使得（log23）＜1”C．p是真命题；￢p“任意x∈[1，+∞），都有（log23）x＜1”D．p是假命题；￢p“任意x∈（﹣∞，1），都有（log23）x＜1”【考点】特称命题；命题的否定．【分析】先根据指数函数的性质即可判断命题p的真假，再根据命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题p：“存在x0∈[1，+∞），使得（log23）≥1”，因为log23＞1，所以（log23）≥1成立，故命题p为真命题，则￢p“任意x∈[1，+∞），都有（log23）x＜1”故选：C第7页（共22页）4．设随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞2）=0.3，则P（ξ＜2μ+1）=（）A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞2）=0.3，到曲线关于x=0.5对称，利用P（ξ＞2）=0.3，根据概率的性质得到结果．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞2）=0.3，∴曲线关于x=0.5对称，∵P（ξ＞2）=0.3，∴P（ξ＜2μ+1）=P（ξ＜2）=0.7，故选：D．5．已知三棱锥的主视图与俯视图如图，俯视图是边长是2的正三角形，那么该三棱锥的左视图可能为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由已知中三棱锥的主视图与俯视图，画出三棱锥的直观图，进而可判断出该三棱锥的左视图．【解答】解：由已知中三棱锥的主视图与俯视图，可得三棱锥的直观图如下图所示：其顶点P在B的正上方，则该三棱锥的左视图为一个两直角边分别为和2的直角三角形，故选：B第8页（共22页）6．如图给出的是计算+++…+的值的一个程序框图，则判断框内可填入的条件是（）A．i≤1006B．i≤1007C．i＞1007D．i＞1006【考点】循环结构．【分析】由题意是判断框中的条件满足，所以框图依次执行循环，框图执行第一次循环后，S的值为，执行第二次循环后，s的值为+，满足+++…+，框图应执行1007次循环，i的值为1008，判断框中的条件应该不满足，算法结束，由此得出判断框中的条件．【解答】解：执行程序框图，有s=0，第1次循环：i=1，s=，第2次循环：i=2，s=+，第3次循环：i=3，s=++，…第1007次循环：i=1007，s=+++…+，i=1008，不满足条件，退出循环，输出s的值，所以i≤1007或i＜1008．故选：B．7．已知x，y满足，且z=2x+y最大值是最小值的2倍，则a的值是（）A．2B．C．D．【考点】简单线性规划．第9页（共22页）【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=﹣2x可得最值，进而可得a的方程，解方程可得a值．【解答】解：作出所对应的可行域（如图△ABC），变形z=2x+y可得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x可知，当直线经过点A（a，a）时直线截距最小，z取最小值3a；当直线经过点B（1，1）时直线截距最大，z取最大值3，由题意可得3=2×3a，解得a=，故选：D．8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据周期求出ω，再由五点法作图求出∅，从而得到函数f（x）=sin2（x+），故把y=f（x）的图象向右平移个单位长度可得y=sinωx的图象，从而得出结论．【解答】解：由题意可得×=﹣=，∴ω=2．第10页（共22页）再由五点法作图可得2×+∅=π，∴∅=，故函数f（x）=sin（ωx+ϕ）=sin（2x+）=sin2（x+）．故把y=f（x）的图象向右平移个单位长度可得y=sinωx的图象，故选A．9．已知向量，是单位向量，若=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+|的取值范围是（）A．[，5]B．[，]C．[，]D．[，]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】向量，是单位向量，=0，取=（1，0），=（0，1）．设=（x，y）=，根据|﹣|+|﹣2|=，可得+=，设A（1，0），B（0，2）．则|AB|=，可得点P在线段AB上．可得y=2﹣2x（0≤x≤1）．代入|+|===f（x），利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵向量，是单位向量，=0，取=（1