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第1页（共19页）2015-2016学年天津市五区县高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|1＜x≤3}，则（∁RA）∩B=（）A．A、（1，2]B．[﹣1，2]C．（1，3]D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最小值为（）A．﹣3B．﹣2C．D．13．“辗转相除法”的算法思路如右图所示．记R（a\b）为a除以b所得的余数（a，b∈N*），执行程序框图，若输入a，b分别为243，45，则输出b的值为（）A．0B．1C．9D．184．设x∈R，则“x＜1”是“x|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．如图，圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，DC是圆O的切线，若AD=4，CD=6，则AC的长为（）A．5B．4C．D．3第2页（共19页）6．若双曲线﹣=1的一条渐近线平行于直线x+2y+5=0，一个焦点与抛物线y2=﹣20x的焦点重合，则双曲线的方程为（）（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=17．已知定义在R上的函数f（x）=x2+|x﹣m|（m为实数）是偶函数，记a=f（loge），b=f（log3π），c=f（em）（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．c＜b＜a8．已知定义域为R的奇函数f（x）的周期为4，且x∈（0，2）时f（x）=ln（x2﹣x+b），若函数f（x）在区间[﹣2，2]上恰有5个零点，则实数b应满足的条件是（）A．﹣1＜b≤1B．﹣1＜b＜1或b=C．＜bD．＜b≤1或b=二、填空题：本大题共有5小题，每小题5分，共30分。9．若复数是纯虚数，则实数a的值为______．10．在（x﹣）8的展开式中，的系数为______．11．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为______．12．曲线y=x2和它在点（2，1）处的切线与x轴围成的封闭图形的面积为______．13．如图，在△ABC中，∠B=，∠BAC的平分线交BC于点D，AD=，AC=，则△ABC的面积为______．第3页（共19页）14．如图，已知l1，l2，l3，…ln为平面内相邻两直线距离为1的一组平行线，点O到l1的距离为2，A，B是l1的上的不同两点，点P1，P2，P3，…Pn分别在直线l1，l2，l3，…ln上．若=xn+yn（n∈N*），则x1+x2+…+x5+y1+y2+…+y5的值为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．已知函数f（x）=4sinxsin（x+）﹣1（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．16．甲、乙、丙三支球队进行某种比赛，其中两队比赛，另一队当裁判，每局比赛结束时，负方在下一局当裁判．设各局比赛双方获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立，且没有平局，根据抽签结果第一局甲队当裁判（Ⅰ）求第四局甲队当裁判的概率；（Ⅱ）用X表示前四局中乙队当裁判的次数，求X的分布列和数学期望．17．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，E为A1C的中点（Ⅰ）求证：D1E∥平面BB1C1C；（Ⅱ）求证：BC⊥A1C；（Ⅲ）若A1A=AB，求二面角A1﹣AC﹣B1的余弦值．18．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，向量=（Sn，an+1），=（an+1，4）（n∈N*），且∥（Ⅰ）求{an}的通项公式（Ⅱ）设f（n）=bn=f（2n+4），求数列{bn}的前n项和Tn．第4页（共19页）19．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在轴上，焦距为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P是椭圆C上第一象限内的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，半径为．求：（i）点P的坐标；（ii）直线PI的方程．20．已知函数f（x）=emx+x2﹣mx（m∈R）．（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若m＜0，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+（e+1）y=0垂直．（i）当x＞0时，试比较f（x）与f（﹣x）的大小；（ii）若对任意x1，x2（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2＜0．第5页（共19页）2015-2016学年天津市五区县高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|1＜x≤3}，则（∁RA）∩B=（）A．A、（1，2]B．[﹣1，2]C．（1，3]D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A，求出∁RA，再计算（∁RA）∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＜﹣1或x＞2}=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），∴∁RA=[﹣1，2]；又B={x|1＜x≤3}=（1，3]，∴（∁RA）∩B=（1，2]．故选：A．2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最小值为（）A．﹣3B．﹣2C．D．1【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A（1，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．故选：D．第6页（共19页）3．“辗转相除法”的算法思路如右图所示．记R（a\b）为a除以b所得的余数（a，b∈N*），执行程序框图，若输入a，b分别为243，45，则输出b的值为（）A．0B．1C．9D．18【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，y的值，当y=0时满足条件y=0，退出循环，输出b的值为9．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=243，b=45y=18，不满足条件y=0，a=45，b=18，y=9不满足条件y=0，a=18，b=9，y=0满足条件y=0，退出循环，输出b的值为9．故选：C．4．设x∈R，则“x＜1”是“x|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x|x|＜1，对x分类讨论，解出不等式的解集，即可判断出．【解答】解：x|x|＜1，当x≤0时，化为﹣x2＜1，恒成立；当x＞0时，化为x2＜1，解得0＜x＜1．综上可得：x|x|＜1的解集为：{x|x＜1}．∴“x＜1”是“x|x|＜1”的充要条件．故选：C．5．如图，圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，DC是圆O的切线，若AD=4，CD=6，则AC的长为（）第7页（共19页）A．5B．4C．D．3【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由切割线定理求出AB=BC=5，由弦切角定理得到△BCD∽△CAD，由此能求出AC．【解答】解：∵圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，DC是圆O的切线，AD=4，CD=6，∴∠ACD=∠ABC，CD2=AD•BD，即36=4（4+AB），解得AB=5，∴BC=5∵∠ACD=∠ABC，∠D=∠D，∴△BCD∽△CAD，∴，∴，解得AC=．故选：C．6．若双曲线﹣=1的一条渐近线平行于直线x+2y+5=0，一个焦点与抛物线y2=﹣20x的焦点重合，则双曲线的方程为（）（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．第8页（共19页）【分析】利用双曲线﹣=1的一条渐近线平行于直线x+2y+5=0，一个焦点与抛物线y2=﹣20x的焦点重合，建立方程，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线﹣=1的一条渐近线平行于直线x+2y+5=0，∴=，∵一个焦点与抛物线y2=﹣20x的焦点重合，∴c=5，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为=1．故选：A．7．已知定义在R上的函数f（x）=x2+|x﹣m|（m为实数）是偶函数，记a=f（loge），b=f（log3π），c=f（em）（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．c＜b＜a【考点】分段函数的应用．【分析】利用f（x）是定义在R上的偶函数，可得m=0，化简a，c，利用函数在（0，+∞）上是增函数，可得a，b，c的大小关系．【解答】解：由f（x）为R上的偶函数，可得f（﹣x）=f（x），即为x2+|x﹣m|=x2+|﹣x﹣m|，求得m=0，即f（x）=x2+|x|，当x＞0时，f（x）=x2+x递增，由a=f（loge）=f（log3e）b=f（log3π），c=f（em）=f（e0）=f（1），又log3π＞1＞log3e，可得f（log3π）＞f（1）＞f（log3e），即有b＞c＞a．故选：B．8．已知定义域为R的奇函数f（x）的周期为4，且x∈（0，2）时f（x）=ln（x2﹣x+b），若函数f（x）在区间[﹣2，2]上恰有5个零点，则实数b应满足的条件是（）A．﹣1＜b≤1B．﹣1＜b＜1或b=C．＜bD．＜b≤1或b=【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意知f（0）=f（﹣2）=f（2）=0，从而化为f（x）=ln（x2﹣x+b）在（0，2）上有且只有一个零点，从而解得．第9页（共19页）【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，f（﹣2）=﹣f（2），又∵f（x）的周期为4，∴f（﹣2）=f（2），∴f（﹣2）=f（2）=0，∴f（x）=ln（x2﹣x+b）在（0，2）上有且只有一个零点，∴方程x2﹣x+b=1在（0，2）上有且只有一个解，∴b=﹣x2+x+1=﹣（x﹣）2+，∴b=或﹣1＜b＜1时，有且只有一个解，1＜b＜时，有两个解，故选：B．二、填空题：本大题共有5小题，每小题5分，共30分。9．若复数是纯虚数，则实数a的值为1．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成复数的标准形式，根据复数是一个纯虚数，得的复数的实部等于0，而虚部不等于0，得的a的值．【解答】解：∵复数==，∵复数是一个纯虚数，∴1﹣a=0，1+a≠0，∴a=1，故答案为：110．在（x﹣）8的展开式中，的系数为﹣56．【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于﹣2，求出r的值，即可求得展开式中的系数．【解答】解：（x﹣）8的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•x8﹣2r，令8﹣2r=﹣2，求得r=5，故展开式中，的系数为﹣=﹣56，故答案为：﹣56．11．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．第10页（共19页）【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意作图，从而可得其由三棱柱截去三棱锥得到，从而解得．【解答】解：由题意作图如下，其由三棱柱截去三棱锥可得，其中三棱柱的体积V=×1×1×2=1，被截去的三棱锥的体积V=××1×1×1=，故该几何体的体积为1﹣=，故答案为：．12．曲线y=x2和它在点（2，1）处的切线与x轴围成的封闭图形的面积为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出导数和切线的斜率，可得切线的方程，根据题意画出区域，然后依据图形，利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：y=x2在（2，1）点处的切线l，则y′=x，∴直线l的斜率k=y′|x=2=1，∴直线l的方程为y﹣1=x﹣2，即y=x﹣1，当y=0时，x﹣1=0，即x=1，第11页（共19页）所围成的面积如图所示：S=x2dx﹣×1×1=x3|﹣=﹣=．故答案为：．13．如图，在△ABC中，∠B=，∠BA