选修1-1《第二章圆锥曲线与方程》学业质量标准检测试卷含解析

第二章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线x2－5y2＝5的焦距为导学号03624597(B)A．6B．26C．23D．43[解析]双曲线方程化为标准方程为x25－y2＝1，∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2＋b2＝6，∴c＝6.∴焦距为2c＝26.2．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是导学号03624598(C)A．y2＝－4xB．x2＝4yC．y2＝－4x或x2＝4yD．y2＝4x或x2＝－4y[解析]∵抛物线过点(－4,4)，∴设其方程为：y2＝－2px或x2＝2py(p0)，将(－4,4)代入可得p＝2，∴抛物线方程为y2＝－4x或x2＝4y.3．若椭圆x29＋y2m2＝1(m0)的一个焦点坐标为(1,0)，则m的值为导学号03624599(D)A．5B．3C．23D．22[解析]由题意得9－m2＝1，∴m2＝8，又m0，∴m＝22.4．3m5是方程x2m－5＋y2m2－m－6＝1表示的图形为双曲线的导学号03624600(A)A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件[解析]当3m5时，m－50，m2－m－60，∴方程x2m－5＋y2m2－m－6＝1表示双曲线．若方程x2m－5＋y2m2－m－6＝1表示双曲线，则(m－5)(m2－m－6)0，∴m－2或3m5，故选A．5．已知双曲线x2a2－y25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于导学号03624601(C)A．31414B．324C．32D．43[解析]由条件知，a2＋5＝9，∴a2＝4，∴e＝ca＝32.6．如果点P(2，y0)在以点F为焦点的抛物线y2＝4x上，则|PF|＝导学号03624602(C)A．1B．2C．3D．4[解析]根据抛物线的定义点P到点F的距离等于点P到其准线x＝－1的距离d＝|2－(－1)|＝3，故C正确．7．双曲线x2a2－y2b2＝1与椭圆x2m2＋y2b2＝1(a0，mb0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形一定是导学号03624603(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形[解析]双曲线的离心率e1＝a2＋b2a，椭圆的离心率e2＝m2－b2m，由a2＋b2a·m2－b2m＝1得a2＋b2＝m2，故为直角三角形．8．(2015·全国卷Ⅰ文)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝导学号03624604(B)A．3B．6C．9D．12[解析]如图：∵抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴椭圆E的右焦点为(2,0)，∴c＝2，∵ca＝12，∴a＝4，∴b2＝a2－c2＝12.∵抛物线的准线为x＝－2，∴|AB|＝2b2a＝2×124＝6.9．已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有导学号03624605(C)A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|[解析]∵2x2＝x1＋x3，∴2(x2＋p2)＝(x1＋p2)＋(x2＋p2)，∴2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|，故选C．10．(2016·山东济宁高二检测)已知F1、F2是椭圆x216＋y29＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A、B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为导学号03624606(A)A．6B．5C．4D．3[解析]由椭圆方程可知，a2＝16，∴a＝4.在△AF1B中，由椭圆定义可知周长为4a＝16，若有两边之和是10，∴第三边的长度为6.11．已知动圆P过定点A(－3,0)，并且与定圆B：(x－3)2＋y2＝64内切，则动圆的圆心P的轨迹是导学号03624607(D)A．线段B．直线C．圆D．椭圆[解析]如下图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A(－3,0)和定圆的圆心B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8.∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，故选D．12．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为导学号03624608(B)A．至多一个B．2C．1D．0[解析]∵直线与圆无交点，∴4m2＋n22，∴m2＋n24，∴点P在⊙O内部，又⊙O在椭圆内部，∴点P在椭圆内部，∴过点P的直线与椭圆有两个交点．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．(2016·广东河源市高二检测)抛物线x2＝4y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为__2__.导学号03624609[解析]如图所示，F为抛物线x2＝4y的焦点，直线y＝－1为其准线，过点P作准线的垂线，垂足为A且交x轴于点B．∵|PF|＝3，∴|PA|＝3，∴|PB|＝2.14．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为12.导学号03624610[解析]∵AB＝2c＝4，∴c＝2.又AC＋CB＝5＋3＝8＝2a，∴a＝4.∴椭圆离心率为ca＝12.15．(2017·山东文，15)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为y＝±22x.导学号03624611[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由x2a2－y2b2＝1，x2＝2py，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，∴y1＋y2＝2pb2a2.又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，∴y1＋p2＋y2＋p2＝4×p2，即y1＋y2＝p，∴2pb2a2＝p，即b2a2＝12，∴ba＝22，∴双曲线的渐近线方程为y＝±22x.16．(2016·山东青岛高二检测)设抛物线C：y2＝2x的焦点为F，直线l过F与C交于A、B两点，若|AF|＝3|BF|，则l的方程为y＝±3(x－12).导学号03624612[解析]由题意得，抛物线y2＝2x的焦点F(12，0)．设l：y＝k(x－12)，A(x1，y2)、B(x2，y2)，则由|AF|＝3|BF|得x1＋12＝3(x2＋12)，即x1＝3x2＋1；联立y2＝2xy＝kx－12，得k2x2－(k2＋2)x＋14k2＝0，则x1x2＝x2(3x2＋1)＝14，解得x2＝16，又x1＋x2＝4x2＋1＝1＋2k2，即k2＝3，k＝±3，即直线l的方程为y＝±3(x－12)．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)求下列双曲线的标准方程．(1)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线；(2)以椭圆3x2＋13y2＝39的焦点为焦点，以直线y＝±x2为渐近线的双曲线.导学号03624613[解析](1)∵双曲线x216－y24＝1的焦点为(±25，0)，∴设所求双曲线方程为：x2a2－y220－a2＝1(20－a20)又点(32，2)在双曲线上，∴18a2－420－a2＝1，解得a2＝12或30(舍去)，∴所求双曲线方程为x212－y28＝1.(2)椭圆3x2＋13y2＝39可化为x213＋y23＝1，其焦点坐标为(±10，0)，∴所求双曲线的焦点为(±10，0)，设双曲线方程为：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)∵双曲线的渐近线为y＝±12x，∴ba＝12，∴b2a2＝c2－a2a2＝10－a2a2＝14，∴a2＝8，b2＝2，即所求的双曲线方程为：x28－y22＝1.18．(本题满分12分)根据下列条件求抛物线的标准方程：导学号03624614(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)；(2)焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5.[解析](1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且－p2＝－2，所以p＝4，所以，所求抛物线的标准方程是x2＝－8y.(2)由焦点到准线的距离为5，知p＝5，又焦点在x轴负半轴上，所以，所求抛物线的标准方程是y2＝－10x.19．(本题满分12分)已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值.导学号03624615[解析](1)直线AB的方程是y＝22(x－p2)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4.由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1、x2＝4，y1＝－22、y2＝42，从而A(1，－22)、B(4,42)．设OC→＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y23＝8x3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.20．(本题满分12分)已知椭圆y2a2＋x2b2＝1(ab0)经过点P(32，1)，离心率e＝32，直线l与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，向量m＝(ax1，by1)、n＝(ax2，by2)，且m⊥n.(1)求椭圆的方程；导学号03624616(2)当直线l过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)时，求直线l的斜率k.[解析](1)由条件知ca＝321a2＋34b2＝1a2＝b2＋c2，解之得a＝2b＝1.∴椭圆的方程为y24＋x2＝1.(2)依题意，设l的方程为y＝kx＋3，由y＝kx＋3y24＋x2＝1，消去y得(k2＋4)x2＋23kx－1＝0，显然Δ0，x1＋x2＝－23kk2＋4，x1x2＝－1k2＋4，由已知m·n＝0得，a2x1x2＋b2y1y2＝4x1x2＋(kx1＋3)(kx2＋3)＝(4＋k2)x1x2＋3k(x1＋x2)＋3＝(k2＋4)(－1k2＋4)＋3k·－23kk2＋4＋3＝0，解得k＝±2.21．(本题满分12分)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为233，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为32.导学号03624617(1)求双曲线C的方程；(2)直线y＝kx＋m(km≠0)与该双曲线C交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以点A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．[解析](1)依题意ca＝233aba2＋b2＝32a2＋b2＝c2，解得a2＝3，b2＝1.所以双曲线C的方程为x23－y2＝1.(2)由y＝kx＋mx23－y2＝1，消去y得，(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，由已知：1－3k2≠0且Δ＝12(m2＋1－3k2)0⇒m2＋13k2①设C(x1，y1)、D(x2，y2)，CD的中点P(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝3km1－3k2，y0＝kx0＋m＝m1－3k2，因为AP⊥CD，所以kAP＝m1－3k2＋13km1－3k2－0＝m＋1－3k23km＝－1k，整理得3k2＝4m＋1②联立①②得m2－4m0，所以m0或m4，又3k2＝4m＋10，所以m－14，因此－14m0或m4.22．(本题满分12分)(2017·山东文，21)在平面直角坐标系xOy中，