选修1-1《第一章常用逻辑用语》学业质量标准检测试卷含解析

第一章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列语句中，命题的个数是导学号03624316(C)①|x＋2|；②－5∈Z；③π∉R；④{0}∈N.A．1B．2C．3D．4[解析]①不能判断真假，故不是命题，其他都是命题．2．命题“若x21，则－1x1”的逆否命题是导学号03624317(D)A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．若－1x1，则x21C．若x1或x－1，则x21D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1[解析]“－1x1”的否定为“x≤－1或x≥1”，故原命题的逆否命题为：“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．3．有下列四个命题①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；④“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题的个数是导学号03624318(A)A．1B．2C．3D．4[解析]“若b＝3，则b2＝9”的逆命题：“若b2＝9，则b＝3”，假；“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”，假；若c≤1，则方程x2＋2x＋c＝0中，Δ＝4－4c＝4(1－c)≥0，故方程有实根；“若A∪B＝A，则A⊆B”为假，故其逆否命题为假．4．(2017·北京文，7)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n0”的导学号03624319(A)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]方法1：由题意知|m|≠0，|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ，使得m＝λn，则m与n反向共线，θ＝180°，∴m·n＝|m||n|cosθ＝－|m||n|0.当90°θ180°时，m·n0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n0”的充分而不必要条件．故选A．方法2：∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴当λ0，n≠0时，m·n0.反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉0⇔cos〈m，n〉0⇔〈m，n〉∈(π2，π]，当〈m，n〉∈(π2，π)时，m，n不共线．故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n0”的充分而不必要条件．故选A．5．(2017·天津文，2)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的导学号03624320(B)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]∵2－x≥0，∴x≤2.∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2.∵当x≤2时，不一定有x≥0，当0≤x≤2时，一定有x≤2，∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．故选B．6．(2016·江西抚州高二检测)以下说法正确的个数是导学号03624321(C)(1)“b2＝ac”是“b为a，c的等比中项”的充分不必要条件；(2)“|a||b|”是“a2b2”的充要条件；(3)“A＝B”是“tanA＝tanB”的充分不必要条件．A．0个B．1个C．2个D．3个[解析](1)中，a＝b＝0时，b2＝ac，但b不是a，c的等比中项，若b为a，c的等比中项，则b2＝ac，故“b2＝ac”是“b为a，c的等比中项”的必要不充分条件；(2)中，|a||b|⇔a2b2，故“|a||b|”是“a2b2”的充要条件；(3)中，A＝B＝π2时，tanA、tanB无意义，当A＝π3，B＝4π3时，tanA＝tanB，而A≠B，故“A＝B”是“tanA＝tanB”的既不充分也不必要条件，故选C．7．已知命题p：∀x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则¬p是导学号03624322(C)A．∃x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)0D．∀x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)0[解析]根据全称命题的否定是存在性命题求解．¬p：∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)0.8．(2016·重庆巴蜀中学高二检测)设a、b∈R，那么“ab1”是“ab0”的导学号03624323(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由ab1⇒ab－10⇒a－bb0⇒b(a－b)0⇒ab0或ab0.故“ab1”是“ab0”的必要不充分条件．9．“a0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的导学号03624324(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]当a0时，Δ＝4－4a0，∴方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实根，不妨设两根分别为x1、x2.则x1＋x2＝－2a0，x1x2＝1a0，故方程ax2＋2x＋1＝0有一正根一负根.当a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0有一负根为－12，∴a0⇒方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根⇒/a0，故选A．10．下列命题中是假命题．．．的是导学号03624325(D)A．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B．∀a0，函数f(x)＝ln2x＋lnx－a有零点C．∃α、β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋sinβD．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数[解析]∵f(x)为幂函数，∴m－1＝1，∴m＝2，f(x)＝x－1，∴f(x)在(0，＋∞)上递减，故A真；∵y＝ln2x＋lnx的值域为[－14，＋∞)，∴对∀a0，方程ln2x＋lnx－a＝0有解，即f(x)有零点，故B真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cosα＋sinβ成立，故C真；当φ＝π2时，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos2x为偶函数，故D为假命题．11．下列命题中的真命题是导学号03624326(D)A．∃x∈[0，π2]，sinx＋cosx≥2B．∀x∈π2，π，tanxsinxC．∃x∈R，x2＋x＝－1D．∀x∈R，x2＋2x4x－3[解析]∵对任意x∈R，有sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)≤2，∴A假；∵x∈(π2，π)时，tanx0，sinx0，∴B假；∵x2＋x＋1＝(x＋12)2＋340，∴方程x2＋x＝－1无解，∴C假；∵x2＋2x－(4x－3)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴对任意x∈R，x2＋2x－(4x－3)0恒成立，故D真．12．命题p：关于x的方程x2＋ax＋2＝0无实根，命题q：函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”真命题，则实数a的取值范围是导学号03624327(A)A．(－22，1]∪[22，＋∞)B．(－22，22)C．(－22，＋∞)D．(－∞，22)[解析]∵方程x2＋ax＋2＝0无实根，∴△＝a2－80，∴－22a22，∴p：－22a22.∵函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，∴a1.∴q：a1.∵p∧q为假，p∨q为真，∴p与q一真一假．当p真q假时，－22a≤1，当p假q真时，a≥22.综上可知，实数a的取值范围为(－22，1]∪[22，＋∞)．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．(2016·北京昌平区高二检测)若命题p：∀x∈R，x2－x＋14≤0，则¬p：∃x∈R，x2－x＋140.导学号03624328[解析]根据全称命题的否定是特称命题，故¬p：∃x∈R，x2－x＋140.14．给出命题：“若函数y＝f(x)是指数函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是__1__.导学号03624329[解析]因为命题：“若函数y＝f(x)是指数函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”是真命题，其逆命题“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是指数函数”是假命题，如函数y＝x＋1.再由互为逆否命题真假性相同知，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是1.15．已知命题“∀x∈R，x2－5x＋152a0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是56，＋∞.导学号03624330[解析]由题意可知，命题“∀x∈R，x2－5x＋152a0”为真命题，∴(－5)2－4×152a0，即a56.∴实数a的取值范围为56，＋∞.16．(2016·贵州安顺高二检测)已知命题p：∃x0∈R，使tanx0＝1，命题q：x2－3x＋20的解集是{x|1x2}．下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(¬q)”是假命题；③命题“(¬p)∨q”是真命题；④命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题．其中正确的是__①②③④__.(填所有正确命题的序号)导学号03624331[解析]命题p：∃x0∈R，使tanx0＝1正确，命题q：x2－3x＋20的解集是{x|1x2}也正确，所以①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(¬q)”是假命题；③命题“(¬p)∨q”是真命题；④命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)判断下列语句是否为命题，若是命题，再判断是全称命题还是特称命题，并判断真假.导学号03624332(1)有一个实数α，tanα无意义；(2)任何一条直线都有斜率吗？(3)圆的圆心到其切线的距离等于该圆的半径；(4)圆内接四边形的对角互补；(5)对数函数都是单调函数．[解析](1)特称命题．α＝π2时，tanα不存在，所以，特称命题“有一个实数α，tanα无意义”是真命题．(2)不是命题．(3)虽然不含有全称量词，但该命题是全称命题．它的含义是任何一个圆的圆心到切线的距离都等于圆的半径，所以，全称命题“圆的圆心到其切线的距离等于该圆的半径”是真命题．(4)“圆内接四边形的对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题且为真命题．(5)虽然不含全称量词，但“对数函数都是单调函数”中省略了“所有的”，所以该命题是全称命题且为真命题．18．(本题满分12分)写出命题“若x2＋7x－8＝0，则x＝－8或x＝1的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．”导学号03624333[解析]逆命题：若x＝－8或x＝1，则x2＋7x－8＝0.逆命题为真．否命题：若x2＋7x－8≠0，则x≠－8且x≠1.否命题为真．逆否命题：若x≠－8且x≠1，则x2＋7x－8≠0.逆否命题为真．19．(本题满分12分)已知P＝{x|a－4xa＋4}，Q＝{x|x2－4x＋30}，且x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围.导学号03624334[解析]P＝{x|a－4xa＋4}，Q＝{x|1x3}．∵x∈P是x∈Q的必要条件，∴x∈Q⇒x∈P，即Q⊆P.∴a－4≤1a＋4≥3，解得a≤5a≥－1，∴－1≤a≤5.20．(本题满分12分)写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：任意m∈R，关于x的方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)q：存在x∈R，使得x2＋x＋1≤0.导学号03624335[解析](1)¬p：存在m∈R，使方程x2＋x－m＝0无实数根．若方程x2＋x－m＝0无实数根，则Δ＝1＋4m0，则m－14，所以¬p为真．(2)¬q：所有x∈R，x2＋x＋10.因为x2＋x＋1＝(x＋12)2＋340，所以¬q为真．21．(本题满分12分)(2016