北京市西城区2010届高三上学期期末抽样测试（数学理）

北京市西城区2010届高三上学期期末抽样测试数学试题（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．设全集U=R，集合}02|{2xxxA,}1|{xxb，则集合ACUB=（）A．}10|{xxB．}10|{xxC．}20|{xxD．}1|{xx2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．xeyB．xysinC．3xyD．xy21log3．右图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6B．8C．16D．244．若向量a，b满足1||||ba，且a·b+b·b=23，则向量a，b的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，αβ=m，则l∥mB．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，m⊥l，则m⊥α6．执行右图所示的程序，输出的结果为48，对判断框中应填入的条件为（）A．i≥4B．4iC．i≥6D．6i7．已知10ba，设bxb1log，bya1log，bzzlog，则（）A．zxyB．xzyC．yzxD．zyx8．若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双曲线存在“F点”，下列曲线中存在“F点”的是（）A．1151622yxB．1242522yxC．11522yxD．122yx第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9．设i是虚数单位，则31ii。10．52)3(xx的展开式中的常数项为。11．若直线01yx与圆01222axyx相切，则a。12．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若1a，2b，31cosB，则Asin。13．将编号为1、2、3的三个小球，放入编号为1、2、3、4的四个盒子中如果每个盒子中最多放一个球，那么不同的放球方法有种；如果4号盒子中至少放两个球，那么不同的放球方法有种。14．无穷等差数列}{na的各项均为整数，首项为1a、公差为d，nS是其前n项和，3、21、15是其中的三项，给出下列命题；①对任意满足条件的d，存在1a，使得99一定是数列}{na中的一项；②对任意满足条件的d，存在1a，使得30一定是数列}{na中的一项；③存在满足条件的数列}{na，使得对任意的nN*，naSS42成立。其中正确命题为。（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分13分）已知函数12cos3)sin(cos)(xxxxf.（1）求)(xf的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求)(xf在区间]2,0[上的最大值和最小值。16．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=2，CD=1（1）证明：MN∥平面PCD；（2）证明：MC⊥BD；（3）求二面角A—PB—D的余弦值。17．（本小题满分13分）已知数列}{na的前n项和)(*2NnnSn，数列}{nb为等比数列，且满足11ab，432bb（1）求数列}{na，}{nb的通项公式；（2）求数列}{nnba的前n项和。18．（本小题满分13分）设0a，函数xaxaxxfln)1(21)(2.（1）若曲线)(xfy在))2(,2(f处切线的斜率为-1，求a的值；（2）求函数)(xf的极值点19．（本小题满分14分）已知抛物线xyC4:2，直线bkxyl:与C交于A，B两点，O为坐标原点。（1）当1k，且直线l过抛物线C的焦点时，求||AB的值；（2）当直线OA，OB的倾斜角之和为45°时，求k，b之间满足的关系式，并证明直线l过定点。20．（本小题满分14分）已知曲线1:xyC，过C上一点),(111yxA作斜率1k的直线，交曲线C于另一点),(222yxA，再过),(222yxA作斜率为2k的直线，交曲线C于另一点),(333yxA，…，过),(nnnyxA作斜率为nk的直线，交曲线C于另一点),(111nnnyxA…，其中11x，)(41*2Nxxxxknnnn（1）求1nx与nx的关系式；（2）判断nx与2的大小关系，并证明你的结论；（3）求证：2|2|...|2||2|21nxxx.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共40分。题号12345678答案BCBCCADD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9．i212110．1511．212．3213．24，1014．①③三、解答题：（本大题共6小题，共80分。若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分标准给分。）15．（本小题满分13分）解：（1）xxxxf2cos3cossin2)(2分xx2cos32sin4分)32sin(2x6分所以，函数)(xf的最小正周期为，7分由232kx，Zk，得122kx，Zk，所以，函数)(xf图象的对称轴方程为x122k，Zk，9分（2）因为]2,0[x，所以]34,3[32x10分所以3≤)32sin(2x≤211分所以，)(xf在区间]2,0[上的最大值为2，最小值为313分16．（本小题满分13分）解：（1）证明：取AD中点E，连接ME，NE，由已知M，N分别是PA，BC的中点，∴ME∥PD，NE∥CD又ME，NE平面MNE，MENE=E，所以，平面MNE∥平面PCD，2分所以，MN∥平面PCD3分（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥DA，PD⊥DC，在矩形ABCD中，AD⊥DC，如图，以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴[来源:]正半轴建立空间直角坐标系4分则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0）C（0，1，0），P（0，0，2）6分所以M（22，0，22），)0,1,2(BD，)22,1,22(MC7分∵MC·BD=0，所以MC⊥BD8分（3）解：因为ME∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC，所以BD⊥平面MCE,所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD，9分由已知)0,0,22(E，所以平面PBD的法向量)0,1,22(EC10分M为等腰直角三角形PAD斜边中点，所以DM⊥PA，又CD⊥平面PAD，AB∥CD，所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM，所以DM⊥平面PAB，11分所以平面PAB的法向量MD（-22，0，22）12分设二面角A—PB—D的平面角为θ，则66||||cosMDECMDEC.所以，二面角A—PB—D的余弦值为66.13分17．（本小题满分13分）解：（1）由已知2nSn，得111Sa1分当n≥2时，12)1(221nnnSSannn3分所以)(12*Nnnan5分由已知，111ab设等比数列}{nb的公比为q，由432bb得322qq，所以2q7分所以12nnb8分（2）设数列}{nnba的前n项和为nT，则122)12(...252311nnnT，nnnT2)12(...252321232，两式相减得nnnnT2)12(22...2222111210分nnn2)12()2...22(2112nnn2)12()12(41111分32)32(nn12分所以32)32(nnnT13分18．（本小题满分13分）解：（1）由已知0x2分xaaxxf)1()('4分曲线)(xfy在))2(,2(f处切线的斜率为-1，所以1)2('f5分即12)1(2aa，所以4a6分（2）xaxxxaxaxxaaxxf))(1()1()1()('28分①当10a时，当),0(ax时，0)('xf，函数)(xf单调递增；当)1,(ax时，0)('xf，函数)(xf单调递减；当),1(x时，0)('xf，函数)(xf单调递增。此时ax是)(xf的极大值点，1x是)(xf的极小值点10分②当1a时，当)1,0(x时，)('xf＞0，当1x时，0)('xf，当),1(时，0)('xf所以函数)(xf在定义域内单调递增，此时)(xf没有极值点11分③当1a时，[来源:]当)1,0(x时，0)('xf，函数)(xf单调递增；当)1,(ax时，0)('xf，函数)(xf单调递减；当),(ax时，0)('xf，函数)(xf单调递增此时1x是)(xf的极大值点，ax是)(xf的极小值点13分综上，当10a时，ax是)(xf的极大值点，1x是)(xf的极小值点；当1a时，)(xf没有极值点；当1a时，1x是)(xf的极大值点，1x是)(xf的极小值点19．（本小题满分14分）解：（1）抛物线xyC4:2的焦点为（1，0）2分由已知yl:=1x，设),(11yxA，),(22yxB，联立142xyxy，消y得0162xx，所以621xx，121xx4分212212212)(2)()(||xxyyxxAB284)(21212xxxx（2）联立bkxyxy42，消x得0442byky………………（*）（依题意k≠0）kyy421，kbyy421，8分设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，斜率分别为1k，2k，则α+β=45°，045tan)tan(，112121kkkk9分其中11114yxyk，224yk，代入上式整理得)(4162121yyyy11分所以kkb16164，即44kb，12分此时，使（*）式有解的k，b有无数组直线l的方程为44kkxy，整理得4)4(yxk消去0404yx，即44yx时4)4(yxk恒成立，所以直线l过定点（-4，4）14分20．（本小题满分14分）解：（1）由已知过),(nnnyxA斜率为nnnxxx412的直线为nyynnnxxx412)(nxx，直线交曲线C于另一点),(111nnnyxA所以nnyy1=nnnxxx412)(1nnxx2分即nnxx111nnnxxx412)(1nnxx，nnxx1≠0，所以)(14*1Nnxxxnnn4分（2）解：当n为奇数时，2nx；当n为偶数时，2nx5分因为1221421111nnnnnxxxxx，6分[来源:]注意到0nx，所以2nx与21nx异号由于211x，所以22x，以此类推，当)(12*Nkkn时，2nx；当)(2*Nkkn时，2nx8分（3）由于0nx，131141nnnnxxxx，所以nx≥1（3,2,1n，…）9分所以1|2||12||2|1nnnnnxxxxx≤|2|21nx10分所以|2|nx≤|2|211nx≤|2|2122nx≤…≤11121|2|21nnx12分所以|2|...|2||2|21nxxx≤12)21(...)21(211n2)21(21n14分版权所有：高考资源网