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3.1.1一、选择题1．下列函数中在区间[1,2]上有零点的是()A．f(x)＝3x2－4x＋5B．f(x)＝x3－5x－5C．f(x)＝lnx－3x＋6D．f(x)＝ex＋3x－6[答案]D[解析]对于函数f(x)＝ex＋3x－6来说f(1)＝e－30，f(2)＝e20∴f(1)f(2)0，故选D.2．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是()A．(0,1]B．(0,1)C．(－∞，1)D．(－∞，1][答案]D[解析]解法1：取m＝0有f(x)＝－3x＋1的根x＝130，则m＝0应符合题设，所以排除A、B，当m＝1时，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2它的根是x＝1符合要求，排除C.∴选D.解法2：直接法，∵f(0)＝1，∴(1)当m0时必成立，排除A、B，(2)当m0时，要使与x轴交点至少有一个在原点右侧，则m0，Δ＝(m－3)2－4m0，－m－32m0，∴0m≤1.(3)当m＝0时根为x＝130.∴选D.3．函数y＝f(x)与函数y＝2x－3的图象关于直线y＝x对称，则函数y＝f(x)与直线y＝x的一个交点位于区间()A．(－2，－1)B．(2,3)C．(1,2)D．(－1,0)[答案]B[解析]y＝2x－3的反函数为y＝log2(x＋3)由图象得：交点分别位于区间(－3，－2)与(2,3)内，故选B.4．函数f(x)＝lgx－9x的零点所在的大致区间是()A．(6,7)B．(7,8)C．(8,9)D．(9,10)[答案]D[解析]∵f(9)＝lg9－10，f(10)＝1－9100，∴f(9)·f(10)0，∴f(x)在(9,10)上有零点，故选D.5．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α、β是函数f(x)的两个零点，则实数a、b、α、β的大小关系可能是()A．aαbβB．aαβbC．αabβD．αaβb[答案]C[解析]∵α、β是函数f(x)的两个零点，∴f(α)＝f(β)＝0，又f(x)＝(x－a)(x－b)－2，∴f(a)＝f(b)＝－20.结合二次函数f(x)的图象可知，a、b必在α、β之间．6．若函数f(x)＝ax＋b的零点是2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0,2B．0，12C．0，－12D．2，－12[答案]C[解析]由条件2a＋b＝0，∴b＝－2a∴g(x)＝－ax(2x＋1)的零点为0和－12.7．(2010·福建理，4)函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x0的零点个数为()A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]令x2＋2x－3＝0，∴x＝－3或1∵x≤0，∴x＝－3；令－2＋lnx＝0，∴lnx＝2∴x＝e20，故函数f(x)有两个零点．8．函数y＝x3与y＝12x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在区间为()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)[答案]C[解析]令f(x)＝x3－12x，则f(0)＝－10，f(1)＝120，故选C.9．(湖南省醴陵二校2009～2010高一期末)有下列四个结论：①函数f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的定义域是(1，＋∞)②若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2,4)，则该函数为偶函数③函数y＝5|x|的值域是(0，＋∞)④函数f(x)＝x＋2x在(－1,0)有且只有一个零点．其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析]由x＋10x－10，得x1，故①正确；∵f(x)＝xα过(2,4)，∴2α＝4，∴α＝2，∴f(x)＝x2为偶函数，故②正确；∵|x|≥0，∴y＝5|x|≥1，∴函数y＝5|x|的值域是[1，＋∞)，故③错；∵f(－1)＝－1＋2－1＝－120，f(0)＝0＋20＝10，∴f(x)＝x＋2x在(－1,0)内至少有一个零点，又f(x)＝x＋2x为增函数，∴f(x)＝x＋2x在(－1,0)内有且只有一个零点，∴④正确，故选C.10．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是()A．－1和16B．1和－16C.12和13D．－12和－13[答案]B[解析]由于f(x)＝x2－ax＋b有两个零点2和3，∴a＝5，b＝6.∴g(x)＝6x2－5x－1有两个零点1和－16.二、填空题11．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x－3－2－101234y60－4－6－6－406则使ax2＋bx＋c0的自变量x的取值范围是______．[答案](－∞，－2)∪(3，＋∞)12．(09·湖北理)已知关于x的不等式ax－1x＋10的解集是(－∞，－1)∪－12，＋∞.则a＝________.[答案]－2[解析]ax－1x＋10⇔(ax－1)(x＋1)0，∵其解集为(－∞，－1)∪(－12，＋∞)，∴a0且－1和－12是(ax－1)(x＋1)＝0的两根，解得a＝－2.[点评]由方程的根与不等式解集的关系及题设条件知，－12是ax－1＝0的根，∴a＝－2.三、解答题13．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？[解析]因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－120，f(0)＝20－02＝10，而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．14．讨论函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数．[解析]函数的定义域为(0，＋∞)，任取x1、x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2.f(x1)－f(x2)＝(lnx1＋2x1－6)－(lnx2＋2x2－6)＝(lnx1－lnx2)＋2(x1－x2)，∵0＜x1＜x2，∴lnx1＜lnx2.∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又f(1)＝ln1＋2×1－6＝－40.f(3)＝ln3＋2×3－6＝ln3＞0∴f(x)在(1,3)内有零点．由f(x)是单调函数知，f(x)有且仅有一个零点．15．定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－12，求满足f(log14x)≥0的x的取值集合．[解析]∵－12是函数的零点，∴f－12＝0，∵f(x)为偶函数，∴f(12)＝0，∵f(x)在(－∞，0]上递增，f(log14x)≥f－12，∴0≥log14x≥－12，∴1≤x≤2，∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[0，＋∞)上单调减，又f(log14x)≥f(12)，∴0≤log14x≤12，∴12≤x≤1，∴12≤x≤2.故x的取值集合为{x|12≤x≤2}．16．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点是－2和3，当x∈(－2,3)时，f(x)0，且f(－6)＝36，求二次函数的解析式．[解析]由条件知f(x)＝a(x＋2)(x－3)且a0∵f(－6)＝36，∴a＝1∴f(x)＝(x＋2)(x－3)满足条件－2x3时，f(x)0.∴f(x)＝x2－x－6.17．已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．[解析](1)任取x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1x2，则x2－x10，ax2－x11，且ax10.∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)0.又∵x1＋10，x2＋10，∴x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝(x2－2)(x1＋1)－(x1－2)(x2＋1)(x1＋1)(x2＋1)＝3(x2－x1)(x1＋1)(x2＋1)0于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋10，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)证法1：设存在x00(x0≠－1)，满足f(x0)＝0，则ax0＝－x0－2x0＋1，且0ax01，∴0－x0－2x0＋11，即12x02.与假设x00矛盾，故方程f(x)＝0没有负数根．证法2：设存在x00(x0≠－1)，满足f(x0)＝0(Ⅰ)若－1x00，则x0－2x0＋1－2，ax01，∴f(x0)－1与f(x0)＝0矛盾．(Ⅱ)若x0－1，则x0－2x0＋10，ax00，∴f(x0)0与f(x0)＝0矛盾，故方程f(x)＝0没有负数根．