福建省福州市2011届高三上学期期末质量检查数学理试题

福建省福州市2011届高三上学期期末质量检查数学试题（理科）（满分：100分；完卷时间：90分钟）友情提示：答案一律填写在答题卡上。一、选择题（每小题5分，满分60分）1．已知集合2{|1,},{|1,},MyyxxRNyyxxRMN则等于（）A．（0，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）}C．{|12}yyy或D．{|1}yy2．设复数2122zizz则等于（）A．-3B．3C．3iD．3i3．如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0—9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为12,aa，则一定有（）A．12aaB．21aaC．12aaD．12,aa的大小不确定4．已知实数,xy满足12,0xyxyxy则的最小值为（）A．2B．3C．4D．55．若双曲线22221xyab的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（）A．5B．5C．2D．26．设函数()sin()(0,0)2fxx的部分图象如图所示，直线6x是它的一条对称轴，则函数()fx的解析式为（）A．()sin()3fxxB．()sin(2)6fxxC．()sin(4)3fxxD．()sin(2)6fxx7．已知实数,,,abcd成等比数列，且函数ln(2)yxxxb当时取到极大值c，则ad等于（）A．-1B．0C．1D．28．如图所示，正方形的四个顶点分别为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)OABC，曲线2yx经过点B。现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．12B．14C．13D．259．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是(012),4amam，不考虑树的粗细，现在用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD。设此矩形花圃的面积为Sm2，S的最大值为()fa，若将这棵树围在花墙内，则函数()afa的图象大致是（）10．在ABC中，“ABACBABC”是“||||ACBC”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”，过函数29yx图象上任意两个“左整点”作直线，则倾斜角大于45的直线条数为（）A．10B．11C．12D．1312．设函数()yfx的定义域为实数集R，对于给定的正数k，定义函数()(())()(())kfxfxkfxkfxk，给出函数2()2fxx，若对于任意的(,)x，恒有()()kfxfx，则（）A．k的最大值为2B．k的最小值为2C．k的最大值为1D．k的最小值为1二、填空题（每小题4分，满分16分）13．在二项式52axx的展开式中，x纱数是-10，则实数a的值为。14．在ABC中，5,3,sin2sinBCACCA，则AB的长为。15．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则如图所示，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16，当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为。16．设()fx是定义在R上的奇函数，且(2)0,0fx当时，有2()()0xfxfxx恒成立，则不等式2()0xfx的解集为。三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（本小题满分12分）数列{}na是首项为2，公差为1的等差数列，其前n项的和为.nS（Ⅰ）求数列{}na的通项公式na及前n项和nS；（Ⅱ）设2nanb，求数列{}nb的通项公式nb及前n项和.nT18．（本小题满分12分）已知函数2()2sin23sinsin()(0)2fxxxx的最小正周期为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数()fx在区间2[0,]3上的取值范围。19．（本小题满分12分）一个袋子内装有若干个黑球，3个白球，2个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取一个白球得1分，每取一个红球得2分，用随机变量表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为1.6（Ⅰ）求袋子内黑球的个数；（Ⅱ）求的分布列与期望。20．（本小题满分12分）某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时。（Ⅰ）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数；（Ⅱ）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？21．（本小题满分12分）（文题满分14分）如图，ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且ODAB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（Ⅱ）过点B的直线l与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若1212,,:EMMBENNB求证为定值。22．（本小题满分14分）已知函数32()fxxaxbxc在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数()fx在R上有三个零点，且1是其中一个零点。（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求(2)f的取值范围；（Ⅲ）设()1gxx，且()()fxgx的解集为（-∞，1），求实数a的取值范围。参考答案一、选择题（每小题5分，满分60分）1．D2．A3．B4．A5．A6．D7．A8．C9．C10．C11．B12．B二、填空题（每小题4分,满分16分）13．114．2515．6,4,1,716．（－∞,－2）∪（0,2）三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意：2(1)1nann2分(1)212nnnSn=2322nn4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知4211ab5分111222nnaannnbbb是首项为4,公比为2的等比数列7分11422nnnb9分24(12)2412nnnT12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()1cos223sincosfxxxx1cos23sin2xx2分3sin2cos21xx2sin(2)16x5分因为函数()fx的最小正周期为π，且0，所以2ππ2，解得1．7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得1)62sin(2)(xxf因为2π03x≤≤，所以ππ7π2666x≤≤，9分所以1πsin2126x≤≤，因此31)62sin(20x，即()fx的取值范围为]3,0[．12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设袋中黑球的个数为n，由条件知，当取得2个黑球时得0分，概率为：2251(0)6nnCpC2分化简得：2340nn，解得4n或1n（舍去），即袋子中有4个黑球4分（Ⅱ）依题意：=0,1,2,3,411432911(0),(1)63CCppC5分2113242911(2)36CCCpC6分1132291(3)6CCpC7分22291(4)36CpC8分∴的分布列为10分914361461336112311610E12分01234P613111366136120．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，每小时的燃料费用为20.5(050)xx，从甲地到乙地所用的时间为300x小时，2分则从甲地到乙地的运输成本xxxy3008003005.02，(050)x６分故所求的函数为230030016000.5800150()yxxxxx，(050)x．７分（Ⅱ）由（１）16001600150150212000yxxxx，９分当且仅当1600xx，即40x时取等号．…11分故当货轮航行速度为４0海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．12分21．（本小题满分12分）（文22题满分14分）解：（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．且点Q在曲线C上,∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2521222＞|AB|=4．∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=25,∴a=5,c=2,b=1．∴曲线C的方程为52x+y2=15分（Ⅱ）证法1：设,,MNE点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)MxyNxyEy，又易知B点的坐标为(2,0)．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．∵1EMMB，∴110111(,)(2,)xyyxy．∴11112x，1011yy．7分将M点坐标代入到椭圆方程中得：1)1()12(51210211y，去分母整理，得0551020121y．10分同理，由2ENNB可得：0551020222y．∴1，2是方程05510202yxx的两个根，∴1021．12分（Ⅱ）证法2：设,,MNE点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)MxyNxyEy，又易知B点的坐标为(2,0)．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．显然直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是)2(xky．将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得052020)51(2222kxkxk．8分∴22215120kkxx，222151520kkxx．又∵1EMMB，则110111(,)(2,)xyyxy．∴1112xx，同理，由2ENNB，∴2222xx．10分∴10)(242)(22221212121221121xxxxxxxxxxxx．12分22．（本小题满分14分）解:（Ⅰ）∵f（x）=－x3+ax2+bx+c，∴232fxxaxb．1分∵f（x）在在（－∞,0）上是减函数，在（0,1）上是增函数，∴当x=0时，f（x）取到极小值，即00f．∴b=0．3分（Ⅱ）由（1）知，f（x）=－x3+ax2+c，∵1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，∴c=1－a．5分∵2320fxxax的两个根分别为10x，223ax．∵f（x）在（0,1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点，∴2213ax，即32a．7分∴52841372faaa．故f（2）的取值范围为5,2．9分（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知321fxxaxa，且32a．∵1是函数fx的一个零点，∴10f，∵()1,gxx∴(1)0g，∴点(1,0)是函数()fx和函数()gx的图像的一个交点．10分结合函数()fx和函数()gx的图像及其增减特征可知，当且仅当函数()fx和函数()gx的图像只有一个交点(1,0)时，()()fxgx的解集为(,1)．即方程组321,1yxyxaxa（１）只有一个解10xy．11分由3211xaxax，得321110xaxx．即