惠州一中高二年级期末考答案（理科）

惠州一中高二年级期末考试理科数学答案及评分标准一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．12345678BABBCDBD二、填空题：第9、10、11、12题为必做题，第13、14、15题为选做题，三题都答的只计算前两题的得分．每小题5分(第10题前空2分，后空3分)，满分30分．9．810．511．33212．813．63aa或14．y2=-8x三．解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．解：(1)寿命与频数对应表:寿命(h)500～600600～700700～800800～900900～1000频数40601608060……………………………………………………………………………………………4分(2)估计该元件寿命在(500～800)h以内的概率为0.10+0.15+0.40=0.65.……………………………………………………………………8分(3)估计该元件寿命在700h以上的概率为0.40+0.20+0.15=0.75.…………………………………………………………………………………………12分16．解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是[0,]a，只有当rOMa时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是(,]()[0,]raPAa的长度的长度=ara…………………………………………12分17．解：（I）如图，以AB，AC，AA1分别为zyx,,轴，建立空间直角坐标系.xyzA则)21,1,0()1,21,21()1,0,(MNP，，…………………2分从而).21,1,0(),1,21,21(AMPN…………………4分,02111210)21(AMPN所以.AMPN………………………………………6分（II）平面ABC的一个法向量为),1,0,0(n则|,cos||),2sin(|sinnPNnPN45)21(1||||2nPNnPN（*）………………10分而)2,0(，当取最大值时，sin最大，tan最大，)2(tan,sin,],2,0[除外最大最大最大时当由（*）式，当.2)(tan,552)(sin,21maxmax时………………14分18．（1）显然，该弦不垂直于x轴，设中点弦AB所在直线方程为)4(1xky，),(11yxA，),(22yxB，则4221xx，1221yy，即821xx，221yy，……………………………………………………………3分由)(6))(()(666212121212221222121xxyyyyxxyyxyxy，得36212121yyxxyyk，……………………………………………………………6分所以中点弦AB所在直线方程为)4(31xy，即0113yx.…………………8分（2）设焦点弦AB所在直线为l.已知抛物线的焦点F为)0,23(，设),(11yxA，),(22yxB，弦AB的中点),(yxM，则xxx221，yyy221.…………………………10分若l不垂直于x轴，则ABMFkk，从而有yyyyxxyyxy3266230212121，即)23(32xy；若l垂直于x轴，此时)0,23(M，也满足)23(32xy.所以，过焦点F的弦的中点轨迹方程为)23(32xy.…………………………14分19．（Ⅰ）.0,2AMNPAPAM∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|又.222||||,22||||ANCNNMCN∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222a焦距2c=2..1,1,22bca∴曲线E的方程为.1222yx……………………………………………………4分（Ⅱ）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为,12,222yxkxy代入椭圆方程得.230.034)21(222kkxxk得由…………………………6分设2212212211213,214),,(),,(kxxkkxxyxHyxG则…………………8分)2,()2,(,2211yxyxFHFG又2122221222122121)1(.,)1(,xxxxxxxxxxxxx，222222)1()121(316,213)1()214(kkkk整理得.331.316214.316323164,2322解得kk.131,10又………………………………………………12分又当直线GH斜率不存在，方程为.31,31,0FHFGx)1,31[,131的取值范围是即所求……………………………………14分20．解：（Ⅰ）)('xf=a－2xb，则有1)1('0)1(bafcbaf，解得{acab211（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=ax+xa1+1－2a。令g（x）=f（x）-㏑x=ax+xa1+1－2a-㏑x，x∈[1，+∞]，则g（1）=0，)('xg=a－21xa－x1=22)1(xaxax=2)1)(1(xaaxxa1）当0a21时，aa1﹥1。若1xaa1，则)('xg0，g（x）是减函数，所以g（x）g（1）=0，即f（x）﹥㏑x,故f（x）≧㏑x在[1，+∞）上不恒成立。2）当a21时，,11aa若1x，则g’（x）0,g(x)是增函数，所以g(x)g(1)=0,即f(x)lnx.故当x故当x≧1时，f(x)lnx.综上所述，所求a的取值范围是,21+∞）。3.当a21时，有f(x)lnx(x1)，令a=21,有f(x)=21(x-x1)lnx,令x=kk1，有lnkk111111211121kkkkkk即ln(k+1)-lnknkkk....3,2,1,11121上述n个不等式依次相加得到结果，即得到11123……n1(1)(1)2(1)nInnnn