广东省深圳中学、广雅中学2011届高三上学期期末四校联考（数学文）

本卷第1页（共7页）数学试题（文）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。参考公式：1．锥体的体积公式13VSh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．2．方差公式2211()niisxxn，其中x是平均数．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{1,3,5,7,9}U，集合{1,|5|,9}Aa，{5,7}UAð，则实数a的值是（）A．2B．8C．2或8D．2或82．在复平面内，复数1iiz（i是虚数单位）的共轭复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某简单几何体的三视图如图所示，其正视图．侧视图．俯视图均为直角三角形，面积分别是1，2，4，则这个几何体的体积为（）A．43B．83C．4D．84．设nS为等比数列na的前n项和，已知3432Sa，2332Sa，则公比q（）A．3B．4C．5D．65．过圆224xy外一点(4,2)P作圆的两条切线，切点分别为,AB，则ABP的外接圆方程是（）A．22(4)(2)1xyB．22(2)4xyC．22(2)(1)5xyD．22(2)(1)5xy6．下图是把二进制数(2)11111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是深圳中学广东广雅中学华南师大附中广东省实验中学2011届高三上学期期末四校联考侧视图正视图俯视图本卷第2页（共7页）（）A．4iB．5iC．4iD．5i7．已知凸函数的性质定理：“若函数()fx在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意12,,,nxxx，有：12121[()()()]()nnxxxfxfxfxfnn”．若函数sinyx在区间(0,)上是凸函数，则在ABC中，sinsinsinABC的最大值是（）A．12B．32C．332D．328．设是三角形的一个内角，且1sincos5，则方程22sincos1xy表示的曲线是A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在x轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在y轴上的椭圆9．已知平面上直线l的方向向量31(,)22e，点(0,0)O和(2,2)P在直线l的正射影分别是'O和'P，且''OPe，则等于（）A．2(31)B．2(31)C．(31)D．3110．若对于任意的[,]xab，函数(),()fxgx总满足()()1()10fxgxfx，则称在区间[,]ab上，()gx可以代替()fx．若()fxx，则下列函数中，可以在区间[4,16]上代替()fx的是（）A．()2gxxB．1()4gxxC．1()(6)5gxxD．()26gxx二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14．15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。11．期末考试后，班长算出了全班50名同学的数学成绩的平均分为x，方差为21s．如果把x当成一个同学的分数，与原来的50个分数一起，算出这51个分数的方差为22s，那么2122ss**．12．若关于x的方程120xaa有两个相异的实根，则实数a的取值范围是**．13．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若7,8,9abc，则AC边上的中线长为**．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点A在曲线2sin()4上，点B在直线cos1上，则||AB的最小值是否是开始S=1+2×Si=i+1输出S结束i=1,S=1本卷第3页（共7页）**．15．（几何证明选讲选做题）如图，已知PA与圆O相切于A，半径OCOP，AC交PO于B，1OC,2OP，则PB**．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知向量(2sin,cos)42xxm，(cos,3)4xn，函数()fxmn（1）求()fx的最小正周期；（2）若0x，求()fx的最大值和最小值．17．（本小题满分12分）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，,,,EFGH分别是棱1111,,,ABCCDABB的中点．（1）证明：//FH平面1AEG；（2）证明：AHEG；（3）求三棱锥1AEFG的体积．18．（本小题满分14分）已知函数3221()(1)3fxxaxbx，其中,ab为常数．（1）当6,3ab时，求函数()fx的单调递增区间；（2）若任取[0,4],[0,3]ab，求函数()fx在R上是增函数的概率．19．（本小题满分14分）某单位为解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为2(m)A的宿舍楼．已知土地的征用费为2388元/2m，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2．5倍．经工程技术人员核算，第一．二层的建筑费用都为445元/2m，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元ABCOPABCDA1B1C1D1EFGH本卷第4页（共7页）/2m．试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最小，并求出其最小费用．（总费用为建筑费用和征地费用之和）20．（本小题满分14分）设(1,0)F，M点在x轴的负半轴上，点P在y轴上，且,MPPNPMPF．（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；（2）若(4,0)A，是否存在垂直x轴的直线l被以AN为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）设函数()(2)xfxax，方程()xfx有唯一解，其中实数a为常数，12()2013fx，*1()()nnfxxnN（1）求()fx的表达式；（2）求2011x的值；（3）若44023nnax且22*11()2nnnnnaabnaaN，求证：121nbbbn参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．题号12345678910答案DBABDACDCC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．5150；12．1(0,)2；13．7；14．22；15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分12分）本卷第5页（共7页）解：（1）()2sincos3cossin3cos2sin()4422223xxxxxxfx-------4分()fx的最小正周期4T．-------6分（2）0x53236x，当232x，即3x时，()fx有最大值2；-------8分当5236x，即x时，()fx有最小值1．--------12分17．（本小题满分12分）解：（1）证明：111111//,//,//FHBCBCAGFHAG-------2分又1AG平面1AGE，FH平面1AGE，//FH平面1AEG-------4分（2）1AG平面11ABBA，AH平面11ABBA，1AHAG-------5分又11,ABHAAEHABEAA11190,90AAHHABAAHEAA，1AHAE-------6分又111AGAEA，AH平面1AEG，-------7分EG平面1AEG，故AHEG-------8分（3）连结1,,HAHEHG，由（1）得//FH平面1AEG，11HAEGFAEGVV-------9分又1111111113114488AEHABBAAAEABHEBHSSSSS，112AG-------10分11111111311338216AEFGFAEGHAEGGAEHAEHVVVVSAG-------12分18．（本小题满分14分）解：（1）当6,3ab时，321()593fxxxx，2()109fxxx-------2分令2()1090fxxx，(1)(9)0xx,解得1x或9x，-------4分故函数()fx的单调递增区间分别为(,1]和[9,)-------6分（2）22()2(1)fxxaxb若函数()fx在R上是增函数，则对于任意xR，()0fx恒成立．所以，224(1)40ab，即(1)(1)0abab-------8分设“()fx在R上是增函数”为事件A，则事件A对应的区域为{(,)|(1)(1)0}ababab1234123abOABCDA1B1C1D1EFGH本卷第6页（共7页）全部试验结果构成的区域{(,)|04,03}abab，如图．-----12分所以，11341133722()3412SPAS阴影故函数()fx在R上是增函数的概率为712-------14分19．（本小题满分14分）解：设楼高为x层，总费用为y元，则征地面积为22.5()Amx，征地费用为5970Ax元，--2分楼层建筑费用为30[445445(44530)(445302)44530(2)](15400)AxxAxx元，从而59703015400AAyxAAxx(0)x-------8分整理化简，得60006000(15400)(215400)1000()yxAxAAxx元-------12分当且仅当600015xx，解得20x（层）时，总费用y最小．-------13分故当这幢宿舍的楼高层数为20层时，最小总费用为1000A元．-------14分20．（本小题满分14分）解：（1）（解法一）MPPN，故P为MN的中点．-------1分设(,)Nxy，由M点在x轴的负半轴上，则(,0),(0,),(0)2yMxPx-------2分又(1,0)F，(,),(1,)22yyPMxPF-------4分又PMPF，204yPMPFx-------6分所以，点N的轨迹C的方程为24(0)yxx-------7分（解法二）MPPN，故P为MN的中点．-------1分设(,)Nxy，由M点在x轴的负半轴上，则(,0),(0,),(0)2yMxPx-------2分又由,MPPNPMPF，故FNFM，可得22FNFM-------4分由(1,0)F，则有222(1)(1)xyx，化简得：24(0)yxx-------6分所以，点N的轨迹C的方程为24(0)yxx-------7分（2）设AN的中点为B，垂直于x轴的直线方程为xa，以AN为直径的圆交l于,CD两点，CD的中点为H．2211(4)22CBANxy，ABCDFHMNOPxyx=a本卷第7页（共7页）412422xBHaxa-------9分22222211[(4)](24)44CHCBBHxyxa221[(412)416](3)44axaaaxaa-------12分所以，令3a，则对任意满足条件的x，都有29123CH（与x无关），-------13分即23CD为定值．-------14分21．（本小题满分14分）解：（1）由(2)xxax，可化简为(2)axxx2(21)0axax-------2分当且仅当12a时，方程()xfx有唯一解．---3分从而2()2xfxx-------4分（2）由已知*1()()nnfxxnN，得122nnnxxx-------5分11112nnxx，即*1111()2nnnNxx数列1nx是以11x为首项，12为公