新课标高二数学理同步测试（5）（选修2-1第三章3.2）

AA1DCBB1C1图普通高中课程标准实验教科书——数学选修2—1[人教版]高中学生学科素质训练新课标高二数学同步测试（5）—（2－1第三章3.2）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．105°D．75°2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝411BA，则BE1与DF1所成角的余弦值是（）A．1715B．21C．178D．233．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．1030B．21C．1530D．10154．正四棱锥SABCD的高2SO，底边长2AB，则异面直线BD和SC之间的距离（）A．515B．55C．552D．1055．已知111ABCABC是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱1CC的中点．点1C到平面1ABD的距离（）图图A．a42B．a82C．a423D．a226．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，则平面1ABC与平面11ACD间的距离（）A．63B．33C．332D．237．在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝21PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值（）A．621B．338C．60210D．302108．在直三棱柱111CBAABC中，底面是等腰直角三角形，90ACB，侧棱21AA，D，E分别是1CC与BA1的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G．则BA1与平面ABD所成角的余弦值（）A．32B．37C．23D．739．正三棱柱111CBAABC的底面边长为3，侧棱3231AA，D是CB延长线上一点，且BCBD，则二面角BADB1的大小（）A．3B．6C．65D．3210．正四棱柱1111DCBAABCD中，底面边长为22，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，GBDEF．则三棱锥11EFDB的体积V（）A．66B．3316C．316D．16二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．在正方体1111ABCDABCD中，E为11AB的中点，则异面直线1DE和1BC间的距离．12．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，E、F分别是11AB、CD的中点，求点B到截面1AECF的距离．13．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离．14．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．15．（12分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小16．（12分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B1MC．17．（12分）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．18．（12分）已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点．（1）求证：E、F、D、B共面；（2）求点A1到平面的BDEF的距离；（3）求直线A1D与平面BDEF所成的角．ABCDOSxyz图19．（14分）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：（Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小；（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；（Ⅲ）异面直线B1D1与BC1之间的距离．20．（14分）如图5：正方体ABCD-A1B1C1D1，过线段BD1上一点P（P平面ACB1）作垂直于D1B的平面分别交过D1的三条棱于E、F、G．(1)求证：平面EFG∥平面ACB1，并判断三角形类型；(2)若正方体棱长为a，求△EFG的最大面积，并求此时EF与B1C的距离．参考答案一、1．B；2．A；3．A；4．C；分析：建立如图所示的直角坐标系，则22(,,0)22A，22(,,0)22B，22(,,0)22C，22(,,0)22D，(0,0,2)S．yxzCBAA1DB1D1GEC1O1FHP图5(2,2,0)DB，22(,,2)22CS．令向量(,,1)nxy，且,nDBnCS，则00nDBnCS，(,,1)(2,2,0)022(,,1)(,,2)022xyxy，0220xyxy，22xy，(2,2,1)n．异面直线BD和SC之间的距离为：OCndn22(,,0)(2,2,1)22(2,2,1)222110255(2)(2)1．5．A；分析：11ABBA为正方形，11ABAB，又平面1ABD平面11ABBA，1AB面1ABD，1AB是平面1ABD的一个法向量，设点C到平面1ABD的距离为d，则11ACABdAB=1()2ACAAABa=1)2ACAAACABa=00cos60242aaaa．6．B；分析：建立如图所示的直角坐标系，设平面11ACD的一个法向量(,,1)nxy，则1100nDAnDC，即(,,1)(1,0,1)0(,,1)(0,1,1)0xyxy11xy，(1,1,1)n，平面1ABC与平面11ACD间的距离ADndn222(_1,0,0)(1,1,1)3.3(1)(1)1xABCDA1B1C1D1yzE图7．D；.222,0,0,0,,0,,0,0.2220,0,.212,0,,422OPABCOAOCABBCOAOBOAOPOBOPOOPzOxyzABaAaBaCaOPhPhDPCODahPAa平面，，，，，以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，设，则设，则为的中点，又Ⅰ,0,1...2hODPAODPAODPAB，平面∥∥2,7,2214,0,,4411,1,,7210cos,.30210sincos,,30210arcsin.30PAahaODaaPBCnODnODnODnODPBCODnODPBC可求得平面的法向量设与平面所成的角为，则与平面所成的角为Ⅱ8．B；解以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，1CC所在直线为z轴，建立直角坐标系，设aCBCA，则）（0,0,aA，）（0,,0aB，）（2,0,1aA，）（1,0,0D∴）（1,2,2aaE，）（31,3,3aaG，）（32,6,6aaGE，）（1,,0aBD，∵点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，zyxPODCBAAA1B1CBC1DzyxEG∴GE平面ABD，∴0BDGE，解得2a．∴）（32,31,31GE，）（2,2,21BA，∵GE平面ABD，∴GE为平面ABD的一个法向量．由32323634||||,cos111BAGEBAGEBAGE∴BA1与平面ABD所成的角的余弦值为37．评析因规定直线与平面所成角]20[，，两向量所成角]0[，，所以用此法向量求出的线面角应满足|2|．9．A；取BC的中点O，连AO．由题意平面ABC平面11BBCC，BCAO，∴AO平面11BBCC，以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，则）（323,0,0A，）（0,0,23B，）（0,0,29D，）（0,323,231B，∴）（323,0,29AD，）（0,323,31DB，）（0,323,01BB，由题意1BB平面ABD，∴）（0,323,01BB为平面ABD的法向量．设平面DAB1的法向量为),,(2zyxn，则DBnADn122，∴00122DBnADn，∴03233032329yxzx，即xzyx3323．∴不妨设)23,1,23(2n，由212323323||||,cos212121nBBnBBnBB，得60,21nBB．故所求二面角BADB1的大小为60．评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神．（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取)23,1,23(2n时，会算得21,cos21nBB，从而所求二面角为120，但依题意只为60．因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角．所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”．10．C；解以D为坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系，则)4,22,22(1B，)4,0,0(1D，)0,2,22(E，)0,22,2(F，∴)4,2,22(1ED，)4,22,2(1FD，)0,22,22(11BD，图10∴1312262624||||,cos111111FDEDFDEDFDED，∴135,sin11FDED，所以5135262621,sin||||211DFDEDFDESEFD，设平面EFD1的方程为：0DCzByx，将点FED,,1代入得BADCD1A1B1C1zyxEFGAEA1DCBB1C1D1Fxyz图0222022204DBDBDC，∴232431DCB，∴平面EFD1的方程为：023243zyx，其法向量为)243,1,1(n，∴点1B到平面EFD1的距离516||||11nnBDd，∴31651653131111dSVEFDEFDB即为所求．评析（1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式222000||CBADCzByAxd计算得到．（2）法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等．二、11．263分析：设正方体棱长为2，以1D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(2,1,0)DE，1(2,0,2)CB，设1DE和1BC公垂线段上的向量为(1,,)n，则1100nDEnCB，即20220，21，(1,2,1)n，又11(0,2,0)DC，1142636DCnn，所以异面直线1DE和1BC间的距离为263．12．36分析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则11(1,0,0),(0,,0),(1,,1)22A