单摆运动—相图

单摆运动—相图张光彪由牛顿第二定律：非线性方程式中角频率：sin22mgFdtdlm0sin22lgdtd0sin2022dtdlg/0单摆数学表达式10线性化处理忽略3次以上的高次项得线性方程!7!5!3sin753xxxxxxxsin022lgdtd0sin22lgdtd数学表达式单摆降阶022lgdtd数学表达式单摆dtdlgdtd差分化tlgt数学表达式单摆ttlgnnnnnn1101.0t数学表达式单摆0)0(,)0(,20A则初始00cossintlgAttlgAlgt差别很大！！！差别很大！！！这就是相图同时显示坐标和动量（速度）差分化tlgt数学表达式改进算法单摆ttlgnnnnnn1101.0tttlgnnnnnn111误差2,34,32,0,32,34,20;,00初始值：3000;01.0Ndt四阶Runge–Kutta方法),,,,(),,,,(),,,,(2121222111tyyygytyyygytyyygynnnnn),(tygyRunge–Kuttamethod一、单摆运动非线性方程0sin22lgdtddtdlgdtdsinttlgnnnnnn111sin2,34,32,0,32,34,20;,00初始值：3000;01.0Ndt二、扰动的单摆thdtdlgdtdsinsin22)2.2,0(),2.2,0(),1,0(),0,2(),2,(),2,(),1,(),1,(),1.0,(),(初始102,1,0)0,10/0001.0(),(nn初始庞加莱截面与庞加莱映射相图可把非线性系统的状态形象地描绘出来，但是随阻尼力与驱动力的加入，其相图也会变得越来越复杂。庞加莱在相空间里取一常数坐标截面，称为庞加莱截面，研究相轨线与该截面的交点，用以分析系统的复杂行为。在n维相空间里取一个n-1维面。相轨线通过截面时留下点的一幅图象反映了轨线运行情况。人们将时间上的连续运动转变为离散的图象处理方法称为庞加莱映射。三.庞加莱映射单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上就留下四个点；推广到无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。三.庞加莱映射庞加莱截面与轨线运动三.庞加莱映射庞加莱截面与轨线运动单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上留下四个点;无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。单摆的三维相空间三.庞加莱映射阻尼单摆的运动方程可化成三个方程：用三个变量,,组成三维相空间相角有周期性，把2n和2(n+1)平面连接起来，相空间扩展为圆环。原来园形轨线成了在圆环面的环线。取某常数位相，即在该位相处截取一平面，环线在穿过时留下了一个点。tFdtddtdcossin2222dtdtFdtddtdcossin2dtd它的相图有一个奇怪吸引子(无周期运动)。相轨线绕着该吸引子一圈又一圈地不仃地转动，结果相空间的轨线越来越复杂。图中那一团相轨线就是在绕了1000圈后在该吸引子附近的形状。右下角是庞加莱截面图，图形不仅简单得多，而且显示出某种结构。由庞加莱截面图可见，转子的相轨线尽管极其复杂，但它不是毫无规律的，而是具有某种内在的规律性在内。受驱转子运动三.庞加莱映射四、扰动的单摆—庞加莱截面102,1,0)0,10/0001.0(),(nn初始thlgdtdsinsin22龙格库塔算法小论文题目台球问题三体问题