人教A版数学必修一--知识要点

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------信达必修一知识要点第一单元1.集合定义：一组对象的全体形成一个集合.2.特征：确定性、互异性、无序性.3.表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}.韦恩图分类：有限集、无限集.4.数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N*、空集φ.5.关系：属于∈、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等＝.6.运算：交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};补运算ACU＝{x|xA且x∈U}，U为全集7.性质：AA；φA；若AB，BC，则AC；A∩A＝A∪A＝A；A∩φ＝φ；A∪φ＝A；A∩B＝AA∪B＝BAB；A∩CUA＝φ；A∪CUA＝I；CU(CUA)＝A；CU(AB)＝(CUA)∩(CUB).方法：韦恩示意图,数轴分析.注意：①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；②AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ.③若集合A中有n)(Nn个元素，则集合A的所有不同的子集个数为n2，所有真子集的个数是n2-1,所有非空真子集的个数是22n。④空集是指不含任何元素的集合。}0{、和}{的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为BA，在讨论的时候不要遗忘了A的情况。⑤符号“,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“,Ø”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------信达8.函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域.9.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.10.映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.11.函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.12..证明函数单调性的一般方法:①定义法：设2121,xxAxx且；作差)()(21xfxf（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号。13．一些有用的结论：(1)奇函数在其对称区间上的单调性相同；(2)偶函数在其对称区间上的单调性相反；(3)若奇函数()fx的定义域包含0，则(0)0f新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(4)判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；14新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，要重视这一点；15.复合函数(1).复合函数：若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。(2).复合函数的定义域：若已知()fx的定义域,ab，其复合函数()fgx的定义域应由()agxb解出(3).复合函数)(xgfy在公共定义域上的单调性：①若f与g的单调性相同，则)(xgf为增函数；②若f与g的单调性相反，则)(xgf为减函数。简记为“同增异减”注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。第二单元1．根式的概念:一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根（nthroot），其中n1，且n∈N*．-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------信达当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时，a的n次方根用符号na表示．式子na叫做根式（radical），这里n叫做根指数（radicalexponent），a叫做被开方数（radicand）．当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号－na表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并成±na（a0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00n．结论：当n是奇数时，aann当n是偶数时，)0()0(||aaaaaann2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定：)1,,,0(*nNnmaaanmnm)1,,,0(11*nNnmaaaanmnmnm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．3．有理指数幂的运算性质（1）ra·srraa),,0(Qsra；（2）rssraa)(),,0(Qsra；（3）srraaab)(),0,0(Qrba．一般地，无理数指数幂),0(是无理数aa是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．4.一般地，函数)1a,0a(ayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．5.指数函数的性质图象特征函数性质1a1a01a1a0向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点（0，1）1a0-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------信达Nalog自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于11a,0xx1a,0xx在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于11a,0xx1a,0xx图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；6.对数的概念：一般地，如果Nax)1,0(aa，那么数x叫做以．a为底．．N的对数（Logarithm），记作：Nxaloga—底数，N—真数，Nalog—对数式说明：○1注意底数的限制0a，且1a；○2xNNaaxlog；○3注意对数的书写格式．两个重要对数：○1常用对数（commonlogarithm）：以10为底的对数Nlg；○2自然对数（naturallogarithm）：以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln．7.对数式与指数式的互化xNalogNax对数式指数式对数底数←a→幂底数对数←x→指数真数←N→幂8.对数的性质（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零：01loga；（3）底数的对数是1：1logaa；（4）对数恒等式：NaNalog；（5）nanalog．9.如果0a，且1a，0M，0N，那么：（1）Ma(log·)NMalog＋Nalog；（2）NMalogMalog－Nalog；（3）naMlognMalog)(Rn．-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------信达10.换底公式abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b）．（1）bmnbanamloglog；（2）abbalog1log．11.对数函数的概念1．定义：函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数。其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：xy2log2，5log5xy都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．对数函数对底数的限制：0(a，且)1a．○2类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格：图象特征函数性质1a1a01a1a0函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0，＋∞）图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点（1，1）11自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于00log,1xxa0log,10xxa第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于00log,10xxa0log,1xxa规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．12.幂函数：一般地，形如xy)(Ra的函数称为幂函数，其中为常数．幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------信达（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上