东北三省附中2002高三数学二模试题

哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2002年高三第二次联合考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。（1）下面四个函数中，不存在反函数的函数的是A．x4yB．4xyC．x3yD．xlogy21（2）设α、β为钝角且55sin，10103cos，则α+β的值为A．43B．45C．47D．45或47（3）对于直线a、b和平面α、β，a//b的一个充分条件是A．a//α，b//αB．a//α，b//β，α//βC．a⊥α，b⊥β，α//βD．α⊥β，a⊥α，b//β（4）函数f(x)=ctgwx(w0)图像的相邻两支截8y所得线段长为4，则)8(f的值是A．0B．-1C．1D．4（5）今有一组实验数据如下t1.9933.0024.0015.0326.121S1.5014.4137.49812.0417.93现准备下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律，其中接近的一个是：A．3t21SB．tlol23S2C．1tS22D．S=-2t-2（6）已知A（0，0），B（a，b），1P是AB中点，2P是1BP中点，3P是21PP中点，…，2nP是1nnPP中点，则nP点的极限位置A．)2b,2a(B．)3b,3a(C．)b32,a32(D．)b43,a43(（7）函数)21x(x1x)x(f2的值域是：A．]47,(B．]223,(3C．),47[D．),223[3（8）已知|a|≠|b|，|ba||b||a|m，|ba||b||a|n，则m、n之间的关系是A．mmB．mnC．m=nD．m≤n（9）如图在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点EF⊥DE，且BC=1，则正三棱锥A-BCD的体积是A．122B．242C．123D．243（10）在平面直角坐标中，x轴正半轴上有5个点，y轴正半轴有3个点，将x轴上这5个点和y轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有A．30个B．35个C．20个D．15个（11）若直线y=kx=1与曲线1yx2有两个不同的交点，是k的取值范围是A．2k2B．1k2C．2k1D．2k或2k（12）某厂有一批长为2.5m的条形钢材，要截成60cm长的A型和43cm长的B型的两种规格的零件毛坯，则下列哪种方案是最佳（所剩材料最少）A．A型4个B．A型2个，B型3个C．A型1个，B型4个D．B型5个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。（13）椭圆)0ba(1byax2222的离心率为21，F为左焦点，A为左顶点，B为上顶点，C为下顶点，直线CF与AB交于D，则tg∠BDC的值___________。（14）已知26)1ax()1x(的展开式中，2x的系数是56，则实数a的值为___________。（15）（理）已知直线l的参数方程为1t2y2t2x（t为参数），若以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为（-2，π），则点P到直线l的距离为___________。（文）函数y=sinx-|sinx|的最小值为___________。（16）在△ABC中AB，下列不等式中正确的是①sinAsinB②cosAcosB③sin2Asin2B④cos2Acos2B其中正确的序号为___________。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程式演算步骤。17．（本小题满分12分）已条集合}1)21(|x{A6xx2，}1)ax(log|x{B4，若BA，求实数a的取值范围。18．（本小题满分12分）已知复数z满足|z|)1z)(1z(2，且1z1z是纯虚数；（1）求z；（2）求argz。19．（本小题满分12分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，（1）求证：CD⊥PD；（2）求证：EF//平面PAD；（3）当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD。20．（本小题满分13分）已知抛物线C：6x21y2，点P（2，4）、A、B在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互补；（1）证明：直线AB的斜率为定值；（2）当直线AB在y轴上的截距为正数时，求△PAB的面积S的最大值及此时直线AB的方程。21．（本小题满分12分）（文）国贸城有一个个体户，2001年一月初向银行贷款10万元作开店资金，每月底获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底所缴的房租和所得税为该月所得金额（含利润）的10%，每月生活活费和其它开支为3000元，余款作为资金全部投入再营业，如此继续，问到2001年年底，这一个体户有现款多少元。（5.208.112）（理）在东西方向直线延伸的湖岸上有一港口A，一艘机艇以40km/h的速度从A港发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后，先按直线前进，以后又改成正北，但不知最初的方向和何时改变的方向，如果去营救，用图示表示营救区域（提示：满足不等式y≥ax+b的点，（x，y）不在y=ax+b的下方）22．（本小题满分13分）（理）若na是正项递增的等差数列，n∈N，k≥2，k∈N，求证（1）k1k1k2kaaaa（2）k22nk1nk2nk1k32k31k22k21k2kk1k1k)1n(aaaaaaaaaaaa（文）已知等比数列nx的各项为不等于1的正数，数列ny满足)1a0a(2alogynn且设18y3，12y6。（1）求数列ny的前多少项和最大，最大值为多少？（2）试判断是否存在自然数M，使当nM时，1xn恒成立？若存在，求出相应的M，若不存在，请说明理由。（3）令1nnnxloga（n13，n∈N），试判断数列na的增减性？参考答案：一、选择题选项123456789101112答案BCCACCCDBABB二、填空题13．3314．-1或615．理22文-216．①②④三、解答题17．解：由1)21(6xx2得06xx2，解得：x3或x-2A={x|x3或x-2}…………………………4分由1)ax(log4得0x+a4∴B={x|-ax4-a}…………………………8分∵A∩B=φ∴3a42a……………10分∵1≤a≤2即a的取值范围是：{a|1≤a≤2}…………………………12分18．解：（1）|z|)1z)(1z(2∴|z|1zzzz2∵|z|zz2∴01zz…………………………3分设z=x+yi(x，y∈R)则yixz∴21x，yi21z…………………………………5分又∵yi21yi231z1z且是纯虚数∴043y2且y≠0……………………………………7分∴23y∴i2321z……………………10分（2）当i2321z时，32zarg……………………11分当i2321z时，34zarg……………………………12分19．（1）证明：∵ABCD是矩形∴CD⊥AD又∵PA⊥平面ABCD，AD是PD在平面ABCD上的射影由三垂线定理：CD⊥PD………………………………………3分（2）证明：取CD中点N，连结EN、FN。∵E、F分加中AB、PC的中点∴EN//PD，EN//AD∵FN平面PAD，EN平面PAD∴FN//平面PAD，EN//平面PAD…………………………5分∵FN∩EN=N∴平面EFN//平面PAD∵EF平面EFN∴EF//平面PAD…………………7分（3）解：当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥平面PCD…………8分∵AB//CD∴CD⊥AD，PD⊥CD，即∠PDA就是侧面PCD与底面ABCD所成二面角的平面角。连结PE，EC又∠PDA=45°∴PA=AD=BC又AE=EB∴Rt△PAE≌Rt△CBE∴PE=EC……………………10分∵F为PC的中点∴EF⊥PC又FN//PDEN//AD∴CD⊥FN，∴CD⊥EN∴CD⊥平面EFN∴CD⊥EF∵CD∩PC=C∴EF⊥平面PCD…………………………12分20．解：（1）易知点P在抛物线C上，设PA的斜率为k，则直线PA的方程是y-4=k(x-2)………………………………1分代入6x21y2中，整理得：0)1k(4kx2x2此时方程应有根Ax及2，由韦达定理得：)1k(4x2A∴)1k(2xA∴4k4k24)2x(ky2AA……………………4分∴)4k4k2),1k(2(A2由于PA与PB的倾斜角互补，故PB方程的斜度为-k同理可得：)4k4k2),1k(2(B2∴2kAB………………6分∴直线AB方程为：y=2x+b，b0。代入方程6x21y2消去y得：06bx2x212)b216(52)]6b(24)[21(2|AB|2……………………9分5b)b216(5221d|AB|21S9364)3bbb216(bb)b216(3…………………12分此时方程为：316x2y……………………………………………13分21．（文）设第n月月底所得现款na万元，依题意3.0a08.13.0%10%)201(a%)201(aannn1n……………4分化为)415a(08.1415an1n，则}415a{n为等比数列，其中4508.1)41510(3.01008.1a1……8分nn08.1)41510(415a即41508.1)41510(ann………………10分∴41508.1)41510(a1212代入5.208.112得375.19a12……………………12分答：到这一年年底，个体户有现款193750元（理）建立如图所示的直角坐标系，设机艇先沿OP方向前进m到P处，然后向北前进n到达Q，设∠XOP=θ，Q（x，y）……………………2分可知sinmnycosmxm+n=20……………………4分∴400)nm(sinmn2nmyx|AQ|222222∵机艇中途左拐∴400yx22……………………7分又∵20nmnm)4sin(2n)cos(sinmyx即20yx400yx22……………………10分根据题中的提示及对称性，结合上述不等式组，可得营救区域为上图所示阴影区域，但不包括圆周上的点。……………………12分22．解：（1）∵daa1k2k，daa1kk∴22k221kk2kadaaa又∵0a1k，0a2k，0ak∴k1k1k2kaaaa……………………4分（2）利用（1）的结论可得1mkmkmk1mk1mk2mkaaaaaa………………………6分令1nk2nk1k21k21k2kaaaaaaA，从而有1k1k)1n(k)1n(1k)1n(2nk3nk1nk2nk1k22k2k21k22k3k1k2kkaaaaaaaaaaaaaaaaA…………9分又22nk1nk2nk2k)1n(3k)1n(1