高一数学算法的含义

5.1高一数学算法的含义【教学目标】1．通过实例体会算法的思想，了解算法的含义；2．能按步骤用自然语言写出简单问题的算法过程；3．了解算法的主要特点（有限性和确定性）.【教学重、难点】通过实例体会算法思想，初步理解算法的含义，算法概念以及用自然语言描述算法.【教学过程】一．问题情境问题1：写出你在家里烧开水的过程.一般地，第一步：把水注入电水壶；第二步：打开电源把水烧开；第三步：把烧开的水注入热水瓶.问题2：两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳。试问他们怎样渡过河去？请写出一个渡河方案.（通过学生讨论得出渡河方案与步骤如下）S1两个小孩同船过河去；S2一个小孩划船回来；S3一个大人划船过河去；S4对岸的小孩划船回来；S5两个小孩同船渡过河去；S6一个小孩划船回来；S7余下的一个大人独自划船渡过河去；对岸的小孩划船回来；S8两个小孩再同时划船渡过河去。问题3说出解一元一次方程的步骤.一般地，S1：去分母；S2：去括号；S3：移项；S4：合并同类项；S5：除以一次项的系数，得方程的解.二．学生活动广义地说为了解决某一问题而采取的方法和步骤，就称之为算法。做任何事情都有一定的步骤。例如：描述太极拳动作的图解，就是“太极拳的算法”；一首歌的乐谱，可以称之为该歌曲的算法.从小学到高中遇到的算法绝大多数都与“计算”有关的问题。问题4给出求1+2+3+4+5的一个算法.解（算法1）：按照逐一相加的程序进行：第一步：计算1+2，得到3；第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15.解（算法2）可以运用公式1+2+3+…+n=2)1(nn直接计算：第一步：取n=5；第二步：计算2)1(nn；第三步：输出运算结果.5.1算法的含义2①②①②解（算法3）按照累积相加的程序进行：第一步：让S=0，I=1第二步：将S+I的值赋给S，I的值增加1第三步：如果I比5大,则输出S,否则转第二步.（说明算法不唯一）问题5给出求解方程组274511xyxy的一个算法.解：S1②-①×2得3y=-3；③S2解③得y=-1；3S将y=-1代入①，得x=4.对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤是否具有一般性？应该怎样进一步完善？点评：本题的算法是由加减消元法求解的，为了使这个算法适合一般的二元一次方程组的解，可以改为：S1方程①不动，将方程②中x的系数除以方程①中x的系数，可得乘数422m；S2方程②减去m乘以方程①，消去方程②中的x项，得到2733xyy；S3将上面的方程组自下而上回代求解，得到y=-1，x=4.S4写出方程组的解41xy.这种消元回代的算法使用一般线形方程组的求解——说明算法的普遍性.下面写出求方程组)0(002121222111ABBACyBxACyBxA的解的算法：第一步：②×A1-①×A2，得(A1B2-A2B1)y+A1C2-A2C1=0；③第二步：解③，得12212212BABACACAy；第三步：将12212212BABACACAy代入①，得12212112BABACBCBx。此时我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公司可得到问题5的另一个算法：第一步：取A1=1，B1=-2，C1=1，A2=2，B2=1，C2=-1；第二步：计算12212112BABACBCBx与12212212BABACACAy第三步：输出运算结果。可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作。三．建构数学通过对以上几个问题的分析，我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法.在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.问题：我们要解决解决一类问题．．．．．．，我们可以抽象出其解题步骤或计算序列，他们有什么样的要求？（1）算法与一般意义上具体问题的解法既有联系，又有区别，它们之间是一般和特殊的关系，也是抽象与具体的关系。算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决。（2）算法的五个特征①有限性：一个算法的步骤序列是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限地执行下去；②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可的；③逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题；④不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，可以有不同的算法；⑤普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限的、事先设计好的步骤加以解决.四．数学应用：例1写出求1×2×3×4×5的算法.解S1：先求1×2，得到结果2；S2：将步骤1得到的结果2再乘以3，得到6；S3：将步骤2得到的结果6再乘以4，得到结果24；S4：将步骤3得到的结果24再乘以5，得到120。另解※S1让S=1，I=1；S2将S×I的值赋给S，I的值增加1；S3如果I比5大,则输出S,否则转第二步.点评由于计算机是高速计算的自动机器，实现循环的语句.因此，上述算法2不仅是正确的，而且是在计算机上能够实现的较好的算法。在上面的算法中，S2，S3构成一个完整的循环，这里需要说明的是，每经过一次循环之后，变量S、I的值都发生了变化，并且循环一次之后都要在S3对I的值进行检验，一旦发现I的值大于5时，立即停止循环，同时输出最后一个S的值，对于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中介绍。例2写出一个求整数a、b、c最大值的算法.解S1先假定序列中的第一个数为最大值。S2将序列中的下一个整数值与最大值比较，如果大于最大值，这时就假定这个数为最大值.S3如果序列中还有其它整数，重复S2.S4直到序列中没有可比的数为止，这时假定的最大值就是序列的最大值.或写成：S1max=a；S2如果bmax，则max=b；5.1算法的含义4S3如果cmax，则max=c；S4max就是a、b、c的最大值.五．回顾反思1．算法的定义：一般地，对一类问题机械的、统一的求解方法称为算法.2．算法的主要特征：（1）确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可的；（2）有限性：一个算法的步骤序列是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限地执行下去；其他如逻辑性、不唯一性、普遍性、具有输入和输出等.3．算法的表述形式：（1）用日常语言和数学语言或借助于形式语言（算法语言）；（2）程序框图（简称框图）；（3）程序语言.4．巩固练习（1）任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积.（2）给出一个求1×3×5×7×9×11×13×15×17×19的一个算法.（3）有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题。分析：由于两个墨水瓶中的墨水不能直接交换，故可以考虑通过引入第三个空墨水瓶的办法进行交换。参考答案：（1）S1输入任意正实数r；S2计算2rS；S3输出圆的面积S.（2）S1让S=1，I=1；S2将S×I的值赋给S，I的值增加2；S3如果I比19大,则输出S,否则转第二步.（3）S1取一只空的墨水瓶，设其为白色；S2将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中；S3将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中；S4将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中；S5交换结束.六．课后作业《数学之友》T5.1：1~12，课本习题