交集、并集、补集、全集

交集、并集、补集、全集一、学习内容：1.理解交集、并集、全集与补集的概念。2.熟悉交集、并集、补集的性质，熟练进行交、并、补的运算二、例题第一阶梯例1、什么叫集合A、B的交集？并集？答案：交集：A∩B={x|x∈A,且x∈B}并集：A∪B={x|x∈A,或x∈B}说明：上面用描述法给出的交集、并集的定义，要特别注意逻辑联结词且、或的准确意义，在交集中用且在并集中用或交、并运算有下列推论：例2、什么叫全集？补集？答案：在研究集合与集合的关系时，相对于所研究的问题，存在一个集合I，使得问题中的所有集合都是I的子集，我们就把集合I看作全集，全集通常用I表示。补集：。说明：全集和补集都是相对的概念。全集相对于所研究的问题，我们可以适当地选取全集，而补集又相对于全集而言。如果全集改设了，那么补集也随之而改变。为了简化问题可以巧设全集或改设全集，选取全集成为解题的巧妙方法。补运算有下列推论：①；②；③。例3、(1)求证：，。(2)画出下列集合图（用阴影表示）：①；②；③；④。提示：(1)证明两个集合M和P相等可分两步完成：第一步证明由x∈MTx∈P；第二步证明由x∈PTx∈M。(2)利用（1）的结果画③、④。答案：说明：(1)中的两个等式是集合的运算定律，很容易记住它，解题时可以应用它。这个证明较难，通常不作要求。但其证明是对交、并、补运算及子集的很好练习。(2)中的四个集合图也是集合的图示法的很好练习。图(1)叫做左月牙，图2叫做右月牙。画图3、图4时要利用集合的两个运算律来画。第二阶梯例1、已知A={x|2x4＋5x3－3x2=0}，B={x|x2＋2|x|－15=0}，求A∩B，A∪B。[提示]先用列举法化简集合A和B。[答案]由2x4＋5x3－3x2=0得x=0，或2x2＋5x－3=0，∴x=0，或x=－3，或x=，∴A={－3，0，}由x2＋2|x|－15=0得|x|=3或|x|=－5，∴x=±3，即得B={－3，3}。∴A∩B={－3}，A∪B={－3，0，，3}例2、设全集I={2，3，a2＋2a－3},A={2,|2a－1|},={5},求实数a的值。答案：说明：例3、设全集I={1，2，3，…9}，={3，8}，={2，5}，={1，2，3，5，6，7，8}，求集合A，B。[答案]说明：例4、设A={x|x5或x－1},B={x|a≤x≤a＋3}，试问实数a为何值时，(1)A∩B=φ；(2)A∩B≠φ；(3)AB。答案：说明：数形结合在集合中有两个方法：一是画集合图，如例3；二是利用坐标系，如本例画数轴（数轴是一维的坐标系）。这两个方法总括为集合的图示法，即寻求集合与图形的对应，找到直觉。从而把抽象的集合问题具体化和形象化此外，本题之（二）的解法是补集法，省去了多少烦恼！第三阶梯：例1、设全集I={(x,y)|x,y∈R}，集合M={(x,y)|}，N={(x,y)|y=3x－2}，那么等于（）。(A)φ(B)(2,4)(C){(2,4)}(D)N提示：先等价化简集合M，再用坐标平面内的点集理解集合M与N的关系。答案：，∴M={(x,y)|y=3x－2，且x≠2}，∴N=M∪{(2,4)}∴={(2,4)}，故选（C）。说明：本题是数形结合法的范例，用点集来理解抽象的集合M、N的关系就十分清晰、直观。解题的关键是分清M和N的关系，当找到N=M∪{(2,4)}时，问题便迎刃而解。此外，注意单元素集合{(2,4)}和元素（2,4）不同，所以选（B）是错误的。例2、据统计我校高中一年级的100名学生中，爱好体育的学生有75人，爱好文艺的学生有56人，试问文艺、体育都爱好的学生最多有多少人？最少有多少人？提示：利用集合图列出各种爱好者的人数间的函数关系。答案：设A={爱好体育的学生}，B={爱好文艺的学生}，则A∩B={文艺、体育都爱好的学生}，A∪B={爱好文艺或爱好体育的学生}。我们把有限集合M的元素个数记作card(M)，card(A)=75，card(B)=56，card(A∩B)=y,card(A∪B)=x。于是由集合图（图7）得x=75＋56－y(75≤x≤100)即y=131－x(75≤x≤100)∴31≤y≤56。答：文艺、体育都爱好的学生最多有56人，最少有31人。说明：关于有限集合的并、交的元素个数的问题，用图解法解决具有无比的优越性。一般地，对于任意两个有限集合A,B有card(A∪B)=card(A)＋card(B)－card(A∩B).其道理可由图8看出来。对于任意的三个有限集合A，B，C，有card(A∪B∪C)=card(A)＋card(B)+card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(C∩A)＋card(A∩B∩C)其道理可由图9看出来。三、练习题A组一、选择题(1．已知全集I={0,－1,－2,－3,－4}，集合M={0,1,－2}，N={0,－3,－4}，则=A.{0}B.{－3，－4}C.{－1，－2}D.φ(2．设全集为R，集合M={x|f(x)=0}，P={x|g(x)=0}，S={x|h(x)=0}，则方程的解集是（）A.M∩P∩NB.M∩PC.M∩P∩SD.M∩P∩(3．已知集合P、M满足P∩M={1，2}，P∪M={1，2，3，4，5}，全集I=N，则(P∪M)∩()为（）A.{1，2，3}B.{2，3，4}C.{3，4，5}D.{1，4，5}(4．设I是全集，集合P、Q满足P∈Q，则下面结论中错误的是A.P∪Q=QB.C.D.(5．满足{1，2}∪M={1，2，3}的所有集合M有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题1、设A={梯形}，B={平行四边形}，C={矩形}，D={菱形}，E={正方形}，则(A∩B)∪(B∩C)∪(D∪E)=.2、设x,y∈R，集合A={(x,y)|4x－y－3=0},B={(x,y)|2x－3y＋11=0},则A∩B=.3、全集I={1，2，3，4}，子集A和B满足：={1}，A∩B={3}，={2}，则A=。4、集合A={1，x2}，且={1，3，x}，则实数x的取值范围是。5、某班48名学生中，有13人爱打篮球又爱唱歌，有29人不爱唱歌，有16人不爱打篮球。则不爱打篮球又不爱唱歌的学生数为。答案：一、选择题1—5B，D，C，D，D二、填空题1、D2、{(2,5)}3、{3,4}4、{0,－,}5、10B组一、选择题1．集合{1，2，3}的子集共有（）A．7个B．8个C．6个D．5个2．下列命题或记法中正确的是（）A．R+∈RB．Z-{x|x0,x∈Z}C．空集是任何集合的真子集D．3．同时满足{1}A{1，2，3，4，5}，且A中所有元素之和为奇数的集合A的个数是（）A．5B．6C．7D．84．设A={x|1x2},B={x|xa},若AB，则a的取值范围是（）A．B．C．D．5．六个关系式：（1）{a,b}={b,a};(2){a,b}{b,a}；（3）；（4）{0}=；（5）{0}；（6）0∈{0}。其中正确的个数为（）A．6个B．5个C．4个D．3个及3个以下6．集合M={x|x=3k-2，k∈Z}，P={y|y=3l+1,l∈Z}，S={y|y=6m+1,m∈Z}之间的关系是（）A．SPMB．S=PMC．SP=MD．SP=M二、填空题7．已知集合P={x|x2=1},集合Q={x|ax=1},若QP，那么a的值是________。8．设S={x|x是至少有一组对边平行的四边形}，A={x|x是平行四边形}，则CsA=________.9．求满足条件{x|x2+1=0,x∈R}的集合M的个数。答案：一、1．B2．D3．C4．A5．C6．C二、7．0、或—18．{x|x是梯形}9．{x|x2+1=0,x∈R}=，又{x|x2-1=0,x∈R}={-1,1},其非空子集为{-1}，{1}，{-1，1}。所以满足条件{x|x2+1=0,x∈R}M{x|x2-1=0}的集合M共3个.