立体几何专题复习讲义资料

1平行关系例题讲解：例1：已知四面体ABCD中，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，求证：(1)MN∥平面ABD；(2)BD∥平面CMN。答案与提示：连CM、CN分别交AB、AD于E、F，连EF，易证MN∥EF∥BD例2.已知边长为10的等边三角形ABC的顶点A在平面α内，顶点B、C在平面α的上方，BD为AC边上的中线，B、C到平面α的距离BB1=2，CC1=4．(1)求证：BB1∥平面ACC1(2)求证：BD⊥平面ACC1(3)求四棱锥A-BCC1B1的体积答案与提示：（3）307例3.已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若平面PCD与平面ABCD所成二面角为θ，问能否确定θ的值，使得MN是异面直线AB与PC的公垂线.答案与提示：（3）45°备用题如图,在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别为BC、AC的中点，设AB=2PA=2，(1)如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？说明理由；(2)对于(1)中的点F，求二面角P-EF-A的大小；答案与提示：（1）F为CD中点（2）arctan2作业DCBMANP在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=12AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过A1，B，M三点的平面交C1D1于点N。(1)求证：EM∥平面ABCD；(2)求二面角B-A1N-B1的正切值。答案与提示：（2）arctan542垂直关系例题讲解：例1：如图,在三棱锥P-ABC中，AB=BC=CA，PA⊥底面ABC，D为AB的中点．(1)求证：CD⊥PB；(2)设二面角A-PB-C的平面角为α，且tanα=7，若底面边长为1，求三棱锥P-ABC的体积．答案与提示：（2）18例2：已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA1和CC1的中点，G是A1C1的中点．(1)求证平面BFD1E⊥平面BGD1；(2)求点G到平面BFD1E的距离；(3)求四棱锥A1-BFD1E的体积．答案与提示：（2）66a(3)16a3例3：四边形ABCD中．AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿对角线BD折起，记折起点A的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD．(1)求证：CD⊥平面PBD；(2)求证：平面PBC⊥平面PDC；(3)求二面角P—BC—D的大小．答案与提示：(2)先证PB⊥面PCD(3)arctan2备用题在三棱锥S-ABC中，已知SA=4，AB=AC，BC=36,∠SAB=∠SAC=45°,SA与底面ABC所的角为30°.BAPDCE(1)求证：SA⊥BC；(2)求二面角S—BC—A的大小；(3)求三棱锥S—ABC的体积．答案与提示：(2)arctan233(3)92作业1.在四棱锥P-ABCD中，已知PD⊥底面ABCD，底面ABCD为等腰梯形,且∠DAB=60°，AB=2CD，∠DCP=45°，设CD=a．(1)求四棱锥P-ABCD的体积．(2)求证：AD⊥PB．答案与提示：(1)34a32.如图，正三角形ABC与直角三角形BCD成直二面角，且∠BCD=90°，∠CBD=30°.（1）求证：AB⊥CD；（2）求二面角D—AB—C的大小；答案与提示：(2)arctan233空间角例1、如图1，设ABC-A1B1C1是直三棱柱，F是A1B1的中点，且SCCBAAABCD(1)求证：AF⊥A1C；(2)求二面角C-AF-B的大小．解：(1)如图2，设E是AB的中点，连接CE，EA1．由ABC-A1B1C1是直三棱柱，知AA1⊥平面ABC，而CE平面ABC，所以CE⊥AA1，∵AB=2AA1=2a，∴AA1=a，AA1⊥AE，知AA1FE是正方形，从而AF⊥A1E．而A1E是A1C在平面AA1FE上的射影，故AF⊥A1C；(2)设G是AB1与A1E的中点，连接CG．因为CE⊥平面AA1B1B，AF⊥A1E，由三垂线定理，CG⊥AF，所以∠CGE就是二面角C-AF-B的平面角．∵AA1FE是正方形，AA1=a，∴11222EGEAa，∴2216222CGaaa，∴tan∠CGE=62322aCGEGa，∠CGE＝60，从而二面角C-AF-B的大小为60。例2、一条长为2的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与成45o角，与成30角，过A、B两点分别作两平面交线的垂线AC、BD，求平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小．以CD为轴，将平以AB为轴，将平面BCD旋转至与面ABD旋转至与平面ACD共面平面ABC共面图1图2图3解法１、过D点作DE⊥AB于E，过E作EF⊥AB交BC于F(图1)，连结DF，则∠DEF即为二面角D－AB－C的平面角．为计算△DEF各边的长，我们不妨画出两个有关的移出图．在图2中，可计算得DE＝1，EF＝31，BF＝030cosBE＝32．在移出图3中，∵cosB＝BCBD＝32,在△BDF中，由余弦定理：45o30oABCFHEDβABCDFo4503o2√1111E√2ABCDF12√DF2＝BD2＋BF2－2BD﹒BF﹒cosB＝(2)2＋(32)2－22﹒32﹒32＝32．（注：其实，由于AB⊥DE，AB⊥EF，∴AB⊥平面DEF，∴AB⊥DF．又∵AC⊥平面，∴AC⊥DF．∴DF⊥平面ABC，∴DF⊥BC，即DF是Rt△BDC斜边BC上的高，于是由BC﹒DF＝CD﹒BD可直接求得DF的长．）在△DEF中，由余弦定理：cos∠DEF＝EFDEDFEFDE2222＝311232)31(12＝33.∴∠DEF＝arccos33.此即平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小．解法２、过D点作DE⊥AB于E，过C作CH⊥AB于H，则HE是二异面直线CH和DE的公垂线段，CD即二异面直线上两点C、D间的距离．运用异面直线上两点间的距离公式，得：CD2＝DE2＋CH2＋EH2－2DECHcos(*)（注：这里的是平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小，当0＜o≤90o，亦即异面直线CH与DE所成的角；当90o＜＜180o，异面直线所成的角为180o－.）∵CD＝DE＝1，CH＝23，HE＝21，从而算得cos＝33，∴＝arccos33.例3、如图1，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，D为棱BC上的一点，在截面ADC1中，若∠ADC1＝90，求二面角D－AC1－C的大小．解：由已知，直三棱柱的侧面均为正方形，图7∵∠ADC1＝90o，即AD⊥C1D．又CC1⊥平面ABC，∴AD⊥CC1.∴AD⊥侧面BC1，∴AD⊥BC，图1∴D为BC的中点．过C作CE⊥C1D于E，∵平面ADC1⊥侧面BC1，∴CE⊥平面ADC1．取AC1的中点F，连结CF，则CF⊥AC1．连结EF，则EF⊥AC1(三垂线定理)∴∠EFC是二面角D－AC1－C的平面角．在Rt△EFC中，sin∠EFC＝CFCE.∵BC＝CC1＝a易求得CE＝5a，CF＝a22.∴sin∠EFC＝510，∴∠EFC＝arcsin510.∴二面角D－AC1－C的大小为arcsin510.例4、（2004年北京春季高考题）如图，四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，1ABCDB1C1FEADABSC图（1）SD垂直于底面ABCD，SB=√3。（I）求证BCSC；（II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小。(Ⅳ)求SD与面SAB所成角的大小。分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。（I）证明：如图1∵底面ABCD是正方形BCDCSD⊥底面ABCDDC是SC在平面ABCD上的射影由三垂线定理得BCSC（II）解：SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形可以把四棱锥SABCD补形为长方体ABCSABCD111，如图2面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角，SCBCBCASSCAS，//11又SDAS1CSD为所求二面角的平面角在RtSCB中，由勾股定理得SC2在RtSDC中，由勾股定理得SD1CSD45即面ASD与面BSC所成的二面角为45C1CADBA1SB1BADSlC图2图3（III）解：如图3SDADSDA190，SDA是等腰直角三角形又M是斜边SA的中点DMSABAADBASDADSDD，，BA面ASD，SA是SB在面ASD上的射影由三垂线定理得DMSB异面直线DM与SB所成的角为90(Ⅳ)45°练习：1.设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=120º.求：(1).直线AD与平面BCD所成角的大小.(2).异面直线AD与BC所成的角.(3).二面角A-BD-C的大小.答案：（1）45°（2）90°（3）180°-arctan22..如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为6，D,E分别为AA1,B1C1的中点.(1)求证：平面AA1E⊥平面BCD；(2)求直线A1B1与平面BCD所成的角．答案：（2）30°3.如图,四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PD=a，PA=PC=2a，(1)求证：PD⊥平面ABCD；(2)求异面直线PB与AC所成角的大小；(3)求二面角A-PB-D的大小；(4)在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径．答案：（2）90°（3）60°(4)(2-√2)a/24.在三棱锥S-ABC中，已知SA=4，AB=AC，BC=36,∠SAB=∠SAC=45º,SA与底面ABC所成的角为30º.(1)求证：SA⊥BC；(2)求二面角S—BC—A的大小;(3)求三棱锥S—ABC的体积．答案：（3）94距离例1、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=23，D为AB的中点.（1）求证：AB1⊥平面CED；（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；（3）求二面角B1—AC—B的平面角.解:（1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.∴CD⊥平面A1B1BA∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1，∴AB1⊥平面CDE；（2）由CD⊥平面A1B1BA∴CD⊥DE∵AB1⊥平面CDE∴DE⊥AB1,∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段∵CE=23，AC=1,∴CD=.22∴21)()(22CDCEDE；（3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC,∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角.在Rt△CEA中，CE=23，BC=AC=1,∴∠B1AC=600∴260cos121AB，∴2)()(2211ABABBB,∴211BCBBCBBtg,∴21arctgCBB.例2、如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a).20(a（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。例3.如图，平面∩平面＝MN，二面角A－MN－B为60°,点A∈，B∈，C∈MN，∠ACM＝∠BCN＝45°.ABCDA1EB1C1AFBEDCMNAC＝1,(1)求点A到平面的距离；(2)求二面角A－BC－M的大小．答案(1)46；(2)arctan36(提示：求出点A在平面的射影到直线BC的距离为43).例4、已知直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝4cm，它的底面△ABC中有AC＝BC＝2cm，∠C＝90°,E是AB的中点．(1)求证：CE和AB1