三角函数、平面向量专题试题集

三角函数、平面向量专题试题集1.函数)34cos(3)34sin(3xxy的最小正周期为（A）A．32B．3C．8D．42.已知函数)(xfy的图象的一条对称轴方程为直线x=1，若将函数)(xfy的图象向右平移b个单位后得到y=sinx的图象，则满足条件的b的值一定为（C）A．12B．12C．)(12ZkkD．)(12Zkk3.在△ABC，cbaACCB,,,0为角A、B、C所对的三条边.（1）求BAtsinsin时，t的取值范围；（2）化简abcbacacbcba)()()(222（用（1）中t表示）.（1）∵ACCBACCB,0，∴△ABC为直角三角形，∴∠A+∠B=2…………2分又).4sin(2cossinsinsinAAABA…………4分∵,20A∴4344A，∴.2)4sin(21A…………6分（2）∵,sin,cosAcaAcb∴abcbacacbcba)()()(222AAAAAAAAAAAAcAcAcccAcAccAcAccossincossincossincossincossincossin)cossin()sin(cos)cos(sin2222322222AAAAAAcossincossin1cossin…………9分].2,1(,121221122ttttttttt…………12分4.已知向量a和b的夹角为60°，|a|=3，|b|=4，则(2a–b)·a等于（B）（A）15（B）12（C）6（D）35.已知)23,45(,532sin．（Ⅰ）求cos的值；（Ⅱ）求满足sin(–x)–sin(+x)+2cos=1010的锐角x．解：（Ⅰ）因为2345，所以3225．（2分）所以2sin12cos2=54，（4分）由1cos22cos2，所以1010cos．（6分）（Ⅱ）因为sin(x)–sin(x)+2cos1010，所以1010)sin1(cos2x，（8分）所以sinx=21，（10分）因为x为锐角，所以6x．（12分）6.下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线3x对称的是（B）A．)32sin(xyB．)62sin(xyC．)62sin(xyD．)62sin(xy7.若)1cos2(12sini是纯虚数，则的值为（B）A．)(42ZkkB．)(42ZkkC．)(32ZkkD．)(4Zkk8.已知向量OPXOBOAOP是直线设),1,5(),7,1(),1,2(上的一点（O为坐标原点），那么XBXA的最小值是（B）A．－16B．－8C．0D．49.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是22cossin,251则的值等于（D）A．1B．2524C．257D．－25710.为锐角，为钝角，tan,1413)cos(,71cos则=3.11.已知|a|=1，|b|=2，（1）若a//b，求a·b；（2）若a，b的夹角为135°，求|a+b|.解（1）ba//，①若a，b同向，则2||||baba……3分②若a，b异向，则2||||baba……3分（2）ba,的夹角为135°，1135cos||||baba……2分12212)(||2222babababa……2分1||ba……2分12.已知函数3cos33cos3sin)(2xxxxf（1）将kwxAxf)sin()(写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）如果△ABC的三边a、b、c成等比数列，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域.解：（1）23)332sin(2332cos2332sin21)32cos1(2332sin21)(xxxxxxf……3分由.,213)(3320)332sin(Zkkxzkkxxx得即即对称中心的横坐标为.,213Zkk……3分（2）由已知acb2..212222cos22222acacacacaccaacbcax,30,1cos21xx……3分.953323.1)332sin(3sinxx)(.2323)332sin(3xfx即的值域为]231,3(……2分综上所述，]231,3()(],3,0(值域为xfx……1分13.设平面上的动向量a=（s，t），b=（－1，t2－k）其中s，t为不同时为0的两个实数，实数0k，满足a⊥b，（1）求函数关系式);(tfs（2）若函数),1()(在tfs上是单调增函数，求证：30k；（3）对上述0),(ktf当，存在正项数列221)()()(}{nnnSafafafa满足，其中}{,21nnnaaaaS试求通项公式并证明32122221nanaa.（1）解：;)(),(32ktttfskttsba得……3分（2）证明：),1[03)(2tkttf对成立，……2分故30,332kktk所以得；……1分（3）,0,)(,,313212332312nnnnnnnnnnaaSSaaSSaaaS因为即得由故,,,2121212121nnnnnnnnnnaaaaaSSaSS两式相减得于是因为,,1,,1,01312111naaaSaaaannnnn所以得又得……4分事实上，相加得令,,,4,3,2),111(22nkkkkk.3)11(212122221nanaan……4分方法1：222211222112]2)1([]2)1([)1()1()1()0(1xxxxaxxxxaff;5,4,,4,16212aaxxaa故得又得方法2：由得由,20120,041202ababacbab得042acb.4,21),(12),(1,2acacaaccabacb得得得结合14.如果函数)20)(sin()(xxf的最小正周期是T，且当2x时取得最大值，那么（A）A．2,2TB．,1TC．,2TD．2,1T15.在ABC中，已知CBAsincossin2，那么ABC一定是（B）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形16.已知3322cos2sin，那么sin的值为31，2cos的值为97。17.若|2|a，2||b且（ba）⊥a，则a与b的夹角是（B）（A）6（B）4（C）3（D）12518.把y=sinx的图象向左平移3个单位，得到函数y=sin3x的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数321sinxy的图象。19.已知直线1l：x–2y+3=0，那么直线1l的方向向量1a为（2，1）或21,1等(注：只需写出一个正确答案即可)；2l过点（1，1），并且2l的方向向量a2与a1满足d1·2a=0，则2l的方程为2x+y–3=0。20.已知：tan4=2，求：（Ⅰ）tan的值；（Ⅱ）sin22cossin2的值．解：（Ⅰ）4tan=tan1tan1=2，∴tan31．（5分）（Ⅱ）解法一：sin2+sin2+cos2=sin2+sin2+cos2–sin2=2sincos+cos2（8分）=2222cossincoscossin21coscossin2（11分）=231tan1tan22．（13分）（Ⅱ）解法二：sin2+sin2+cos2=sin2+sin2+cos2–sin2=2sincos+cos2（1）（8分）∵tan=31，∴为第一象限或第三象限角．当为第一象限角时，sin=101，cos=103，代入（1）得2sincos+cos2=23；（10分）当为第三象限角时，sin=101，cos=101，代入（1）得2sincos+cos2=23．（12分）综上所述：sin2+sin2+cos2=23．（13分）21.已知常数a0，向量),0(am，)0,1(a，经过定点A(0，–a)以m+n为方向向量的直线与经过定点B(0，a)以n+2m为方向向量的直线相交于点P，其中∈R．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若22a，过E(0，1)的直线l交曲线C于M、N两点，求ENEM的取值范围．解：（Ⅰ）设P点的坐标为(x，y)，则),(ayxAP，),(ayxBP，又),0(),0,1(amn，故),(anm，)2,1(2amn．由题知向量AP与向量nm平行，故(y+a)=ax．又向量BP与向量mn2平行，故y–a=2ax．两方程联立消去参数，得点P(x，y)的轨迹方程是(y+a)(y–a)=2a2x2，即y2–a2=2a2x2．（6分）（Ⅱ）∵22a，故点P的轨迹方程为2y2–2x2=1，此时点E(0，1)为双曲线的焦点．①若直线l的斜率不存在，其方程为x=0，l与双曲线交于22,0M、22,0N，此时21211122122ENEM．（8分）②若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+1，代入2y2–2x2=1化简得2(k2–1)x2+4kx+1=0．∴直线l与双曲线交于两点，∴△=(4k)2–8(k2–1)0且k2–1≠0．解得k≠±1．设两交点为M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x1+x2=122kk，x1x2=)1(212k．（10分）此时),(),()1,()1,(22112211kxxkxxyxyxENEM=x1x2+k2x1x2=(k2+1)x1x2=12121)1(21222kkk．当–1k1时，k2–10，故)121(212kENEM≤21；当k1或k–1时，k2–10，故21121212kENEM．综上所述，ENEM的取值范围是21,∪,21．（13分）22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.已知向量a→＝(8，12x)，b→＝(x，1)，其中x＞0，若(a→－2b→)∥(2a→＋b→)，则x的值为A.4B.8C.0D.2解：a→－2b→＝(8－2x，12x－2)，2a→＋b→＝(16＋x，x＋1)由(a→－2b→)∥(2a→＋b→)，得(8－2x，12x－2)＝λ(16＋x，x＋1)即8－2x＝λ(16＋x)12x－2＝λ(x＋1)x＝4.选A33.同时具有以下性质：“①最小正周期实π；②图象关于直线x＝π3对称；③在[－π6，π3]上是增函数”的一个函数是A.y＝sin(x2＋π6)B.y＝cos(2x＋π3)C.y＝sin(2x－π6)D.y＝cos(2x－π6)解：由性质①排除A，由性质②排除D