三角函数与三角变形

【同步教育信息】一.本周教学内容：专题复习“三角函数与三角变形”二.重点与难点：1.三角函数的图象与性质；2.同角三角函数的基本关系式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和积互化公式等三角公式的应用。三.要点综述：1.三角函数是一类重要的初等函数，因其在复数（如复数的三角形式）解析几何（如直线的倾斜角，参数方程，极坐标），立体几何（如两条异面直线成角，直线与平面的成角，二面角）中有着广泛的应用，因此对三角函数与三角变形要有足够的认识。2.三角函数的周期性，以及y=sinx，y=cosx的有界性是试题经常考查的重要内容。要掌握形如y=Asin(ωx+)或y=Acos(ωx+)的函数的周期的求法；灵活应用y=sinx，y=cosx的有界性研究某些类型的三角函数的最值（或值域）问题。3.三角恒等式的证明因其技巧性较强，一度成为数学的难点，近些年的高考试题对这类题目的考查在减少，要求有所降低，但我们应该充分重视三角变形，因为其中体现了对三角公式的运用能力，尤其体现了事物之间互相联系，互相转化的辩证思想。4.基于上述几点理由，建议同学们在复习这部分内容时，做到“立足课本，落实三基；重视基础，抓好常规”即复习时以中低档题目为主，注意求值化简题以及求取值范围的习题，另外，注意充分利用单位圆，三角函数图象研究问题。【典型例题分析与解答】例1.已知，且，则的值为sincoscossin1842分析：联想与的关系式：cossinsincos(cossin)sincos212可知，欲求的值，不妨先求的值，另外，应注意到，当cossin(cossin)2420时，，故sincoscossin解：(cossin)sincos212121834而42cossin0cossin3432即的值为cossin32例2.已知函数（为常数，且）yxaxaasinsin2120求函数的最小值。分析：若将sinx换元，则函数转化为二次函数，从而可把三角函数的最值问题转化为二次函数的最值问题，但要注意到：转化后所得二次函数的定义域。解：设，由于，故，sinxtxRt11原函数化为ytat212()taat24121122，，当，，即时，的最小值为；aaya211204122当，，注意到，可知，aa2110当，即时，取最小值aaya21212综上，得，当时，；204122ayamin当时，aya212min［注］在求解三角函数的最值时，注意三角函数的有界性。例3.函数的最小正周期是。yxxsin()cos322分析：一般地，要求三角函数的最小正周期，往往要用到如下结论：形如的最小正周期。为此，需先把给定的函数解析yAxTsin()||2式通过三角公式，变形为上述结论中的函数形式，于是：yxxsin()cos322sincoscossincos32322xxx()cos()sin3212122xx232sin()x其中角满足：，显然tg232最小正周期T22||或按如下方法化简解析式：yxxsin()cos322sin()sin()3222xx2512212sin()cos()x2122512cossin()x显然2最小正周期T22||［注］一般地，如果给定的函数解析式不是形如y=Asin(ωx+)的形式，在求其最小正周期时，往往先将解析式变形为y=Asin(ωx+)的形式。例4.为使方程在内有解，则的取值范围是（）cossin,2002xxaaAaBa..1111CaDa..1054分析一：由方程形式，可把该方程采取换元法，转化为二次函数：设sinx=t，则原方程化为，且，，于是问题转化为：若关于的一元二次方程t+t-a-1=0t012tttaa21001在区间，上有解，求的取值范围，解法如下：设由已知条件fttta()21有ffaaa()()0010101011aaB的取值范围为，故选（）11t12f(t)O1t分析二：由方程，得，，cossincossin22002xxaaxxx于是问题转化为：求函数在，上的值域，axxcossin202解法如下：axxxxxcossinsinsin(sin)22211254x02，sinx01，，从而当时，无限逼近；sinxa01当时，取最大值sinxa11aaB的取值范围为，故选（）11例5.若，则的值tg22212cossincos.分析一：观察角，函数名称的关系后，易联想到万能公式，于是可以按照如下方式去求值。原式cossincos22112222232cossincos2112131122222tgtgtgtgtgtg2124222tgtgtg212224221622()()()分析二：联想到关于sinθ，cosθ的齐次公式可以化切，于是可以按照如下方式求值。原式(cossin)sincos(sincos)cos22222212222tgtgtg1222221622()()()［注］两相比较，发现，解法二更为简捷，事实上，对于已知tgθ的值，而求关于sinθ，cosθ的齐次公式的值时，方法二更具有通用性。例6.已知的三内角分别为、、，且满足ABCABCACB21122coscoscoscosACBC，求的值。分析：这是一道以三角形为背景材料的三角函数问题，要注意题中的隐藏条件：ABCACBBAC180260120，又二式联立，易得，，这对式子的变形很有帮助。若把等式左边通分，积差化积，积112coscoscosACB化和差后，就会变形得到关于的式子，从而可求得的值，cos()cos()ACAC再利用半角公式，即可求得的值，亦可能变形后，直接得到coscosACAC22的式子，从而立即求值。解：ACBABC2180，又BAC60120，11coscoscoscoscoscosACACAC22212coscoscos()cos()ACACACAC260212120coscoscoscos()ACACcoscos()ACAC21412cos(cos)ACAC214122212coscoscoscosACACB22342260222即，解关于的二次方程cos(cos)cosACACAC22223422得或coscos()ACAC22223241coscosACAC23241222不合题意，应舍去，故例7.求值：sincossincos22208032080解法一：（利用降幂公式，变形……）sincoscoscos22122122原式14021160232080coscossincos1121604032080(coscos)sincos1122100603210060()sinsinsinsin()132100321003414sinsin解法二：（异角化同角：，……）806020原式sincos(cossin)2208080320sincos()cos()sin22060206020320sin(coscossinsin)(coscossinsin2206020602060206020320sin)sin(cossin)(cossin)2201220322012203220sincossin2222014203420142014201422sincos例8.化简sinsincoscoscoscos22221222分析：对三角函数式化简的目标是：（1）次数尽可能低；（2）角尽可能少；（3）三角函数名称尽可能统一；（4）项数尽可能少。观察欲化简的式子发现：（1）次数为2（有降次的可能）；（2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）；（3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；（4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种。解法一：（复角单角，从“角”入手）原式sinsincoscos(cos)(cos)222222122121sinsincoscos(coscoscoscos)22222222124221sinsincoscoscoscos22222212sinsincossincos2222212sincos21211212解法二：（从“名”入手，异名化同名）原式sinsin(sin)coscoscos222211222cossin(cossin)coscos22221222cossincoscoscos2221222coscos(sincos)2221221222121222coscossin(sin)12212212coscos解法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）原式1221221221221222coscoscoscoscoscos14122221412222(coscoscoscos)(coscoscoscos)1222coscos141412解法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）原式(sinsincoscos)sinsincoscoscoscos221222cos()sinsincoscos212221222cos()cos()21222cos()cos()22122112［注］在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法。例9.已知一半径为，圆心角为的扇形中，有一个一边在半径上的内接矩13形ABCD，（如图），求该矩形的最大面积。DCOABα分析：欲求矩形的最大面积，按照函数的思想就是求面积函数的最大值，因此需要先依照题意，建立面积函数，选哪个量作自变量呢？经尝试发现：选取∠COB=α为面积函数的自变量最优，于是可建立一个以角α为自变量的三角函数来表示矩形面积，进而研究该函数的最值即可。解：设，（）COB03则，BCABOBOAsincossin33SABBCABCD矩形(cossin)sin33122332sinsin12233122sincos12236236sincos332636sin()