绝密★启用前03-04年高三数学(理)全国统一标准测试(二)命题范围:第四章平面向量;第五章不等式本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至8页.共150分,考试时间120分钟.参考公式:sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=21[sin(α+β)-sin(α-β)]cosαcosβ=21[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαsinβ=-21[cos(α+β)-cos(α-β)]sinα+sinβ=2sin2cos2sinα-sinβ=2cos2sin2cosα+cosβ=2cos2cos2cosα-cosβ=-2sin2sin2第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.不能答在试题卷上.一、选择题(本大题共12小题;每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.为得到函数y=sinx+cosx的图象,只要将函数y=sinx-cosx按向量a平移,则a等于A.(,0)B.(-,0)C.(4,0)D.(-4,0)2.下列各组命题中,命题M是命题N成立的充要条件的一组命题是A.M:a>b;N:ac2>bc2B.M:a>b,c>d;N:a-d>b-cC.M:a>b>0,c>d>0;N:ac>bcD.M:|a-b|=|a|+|b|;N:ab≤03.设a,b∈R,现给出下列5个条件:①a+b=2;②a+b>2;③a2+b2>2;④ab>1;⑤logab<0.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件为A.②③④B.②③④⑤C.①②③⑤D.②⑤4.已知|a|=8,|b|=15,|a+b|=17,则a与b的夹角θ为A.0B.6C.3D.25.设f(x)=(21)x,a,b为正实数,A=f(2ba),G=f(ab),H=f(baab2),K=f(222ba),则A、G、H、K的大小关系是A.H≤G≤A≤KB.A≤K≤H≤GC.A≤K≤G≤HD.K≤A≤G≤H6.若关于x的方程a2x+(1+m1)ax+1=0(a>0,a≠1)有解,则m的取值范围是A.[-31,0)B.[-31,0)∪(0,1]C.(-∞,-31]D.[1,+∞)7.在区间[-4,-1]上,函数f(x)=-x2+px+q与函数g(x)=x+x4同时取相同最大值,那么函数f(x)在区间[-4,-1]上的最小值为A.-10B.-5C.-8D.-328.在△ABC中,若∠B=60°,则sin2A+sin2C的取值范围是A.(0,23]B.[23,21]C.[23,43]D.(23,43]9.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足OBOAOC,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=010.把长为12厘米的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么,这两个正三角形面积之和的最小值是A.323cm2B.32cm2C.32cm2D.4cm211.已知函数y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域为[-π,π],且它们在x∈[0,π]上的图象如下图所示,则不等式)()(xgxf>0的解集为A.(-3,0)∪(3,π)B.(-π,-3)∪(3,π)C.(-4,0)∪(4,π)D.(-π,-3)∪(0,3)12.某大学的信息中心A与大学各部门、各院系B,C,D,E,F,G,H,I之间拟建立信息联网工程,实际测算的费用如图所示(单位:万元),请观察图形,可以不建部分网线,而使得信息中心A与大学各部门、各院系连通(直接或中转),则最少的建网费用是A.12万元B.13万元C.14万元D.16万元第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13.已知M为△ABC边AB上一点,且△AMC的面积是△ABC面积的81,则B分AM所成的比为______.14.某邮局现只有邮票0.6元、0.8元、1.1元的三种面值邮票,现有邮资为7.50元的邮件一件,为使粘贴的邮票张数最少,且资费恰为7.50元,则应购买______张邮票.15.已知三个不等式:①ab>0;②bdac;③bc>ad.以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可以组成______个正确命题.16.给出下列命题中①(MBAB)+(BCBO)+ACOM;②平行四边形ABCD中,有||||ABBCBABC;③矩形ABCD中,点集M={A,B,C,D},则集合T={PQ|P,Q∈M,且P,Q不重合}中元素个数为8;④“两个向量方向相反”是这两个向量共线的充分不必要条件.其中正确命题的序号是______.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题;共74分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,当k为何值时,(1)ka-b与a-kb垂直;(2)|ka-2b|取得最小值?并求出最小值.18.(本小题满分12分)在△ABC中,a2+b2=c2+ab,且sinAsinB=43,试判定△ABC的形状.19.(本小题满分12分)在△ABC中,三边AB=8,BC=7,AC=3.以点A为圆心,r=1为半径做一个圆,设PQ为圆A的任意一条直径,记T=BP·CQ,求T的最大值和最小值,并说明当T取最大值和最小值时,PQ的位置特征是什么?20.(本小题满分12分)森林失火,火势以每分钟100m2的速度迅速蔓延,消防队接到报警后立即派消防队员前去,在失火5分钟后赶到现场开始灭火.已知每位消防队员每分钟可灭火50m2,所消耗的灭火材料等费用每人每分钟125元,另加每次灭火所消耗的车辆、器材和装备等费用平均每人100元,而每烧毁1m2的森林直接损失费用为60元,设消防队派x名消防队员前去救火,从到现场直至把火完全扑灭共用n分钟.(1)写出x与n的关系式;(2)问x为何值时,才能使总损失最小?21.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)满足f(-1)=0,且x≤f(x)≤21(x2+1)对一切实数x恒成立.(1)求f(1);(2)求f(x)的解析表达式;(3)证明424)(1)2(1)1(1nnnfff.22.(本小题满分14分)已知不等式|x+3|>2|x|①,2322xxx≥1②,2x2+mx-m2<0③.(1)若同时满足不等式①、②的x值也满足不等式③,求m的取值范围;(2)若满足不等式③的x值至少满足不等式①、②中的一个,求m的取值范围.03-04年高三数学(理)全国统一标准测试(二)答案一、1.B2.D3.D4.D5.D6.A7.C8.D9.D10.B11.D12.B二、13.-7814.815.316.①④三、17.解:(1)∵ka-b与a-kb垂直,∴(ka-b)·(a-kb)=0.2分∴ka2-k2a·b-b·a+kb2=0.∴9k-(k2+1)×3×2·cos120°+4k=0.∴3k2+13k+3=0.∴k=613313.5分∴当k=613313时,ka-b与a-kb垂直.6分(2)∵|ka-2b|2=k2a2-4ka·b+4b2=9k2-4k×3×2·cos120°+4×4=9k2+12k+16=(3k+2)2+12.10分∴当k=-32时,|ka-2b|取得最小值为23.12分18.解:由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC.∵a2+b2=c2+ab,∴ab-2abcosC=0.∴cosC=21,∴C=60°4分∵sinAsinB=43,cos(A+B)=cos(180°-C)=cos120°=-21,cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB,∴cosAcosB=41.8分∴cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB=1.∵-π<A-B<π,∴A-B=0.∴A=B=60°.∴△ABC是等边三角形.12分19.解:1||||AQAP.APBABPAQCACQ;2分由余弦定理可得cosBAC=21,所以∠BAC=60°4分T=BP·CQ=(APBA)·(AQCA)=…=12+PQ21(ABAC)-4=8+PQ21·BC.设PQ与BC夹角为θ,则T=8+14cosθ.8分当θ=0即PQ∥BC且同向时T最大=2210分当θ=π即PQ∥BC且反向时T最小=-612分20.解:(1)由题意知5×100+100n=50nx3分(2)设总损失费用为y元,则y=125nx+100x+60(n+5)×1007分由(1)知n=210x,代入上式并整理得:y=31450+262500x+100(x-2)≥31450+26250000=36450(元)10分上式等号成立时,当且仅当262500x=100(x-2)时.所以当x=27时,才能使总损失最小.12分21.解:(1)取x=1,由1≤f(1)≤21(1+1),所以f(1)=12分(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)因f(-1)=0,f(1)=1,,10cbacba∴a+c=b=21,4分∵f(x)≥x,对x∈R恒成立,∴ax2+(b-1)x+c≥0对x∈R恒成立,∴04)1(02acba∴1610aca6分∵a>0,ac≥161>0,∴c>0.∵a+c≥2ac≥221161当且仅当a=c=41时,等式成立∴f(x)=4121412xx,即f(x)=41(x+1)210分(3)证明:∵)2111(4)2)(1(4)1(4)(12nnnnnnf∴)211141313121(4)(1)2(1)1(1nnnfff424)2121(4nnn.12分22.解:(1)不等式|x+3|>2|x|①的解集为A={x|-1<x<3,x∈R};不等式2322xxx≥1②的解集为B={x|0≤x<1或2<x≤4,x∈R}则A∩B={x|0≤x<1或2<x<3}.4分设不等式③的解集为C,由题意知A∩BC当m>0时,得320mm,∴m≥6;当m=0时,C是空集,不合题意;当m<0时,02.3mm,∴m≤-3.由此得m≤-3或m≥6.8分(2)由(1)知A∪B={x|-1<x≤4};由题意知CA∪B10分当m>0时,得421mm,∴m>8;当m=0时,C是空集,不合题意;当m<0时,124mm,∴m<-4.由此得m<-4或m>8.14分