2007年高三年级第二次联合考试数学(理科)

2007年高三年级第二次联合考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。3、考试结束，考生将本试卷和答题卡一并交回。否则不予计分。一、选择题（每小题所给的四个选项中，只有一个符合题目要求，每小题5分，共50分）1．已知函数(),(0,1)xfxaaa的图像经过点11(,)22P，则常数a的值为（）A．2B．4C．12D．142．函数2|2sin1|yx的最小正周期是（）A．4B．2C．D．23．已知三个力1(2,1)f，2(3,2)f，3(4,3)f同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力4f，则4f等于（）A．（－1，－2）B．（1，－2）C．（－1，2）D．（1，2）4．nS为等差数列{}na的前n项和，S9＝－36，S13＝－104，等比数列{}nb中，55ba，77ba，则6b等于（）A．42B．－42C．±42D．无法确定5．2lg0.11x是||1x的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件6．函数fx的图象无论经过平移还是关于某条直线对称翻折后仍不能与12logyx的图象重合，则fx是（）A．2y-xB．42logyxC．2log1yxD．142yx7．以椭圆221169144xy的右焦点为圆心，且与双曲线221916xy的渐近线相切的圆的方程是（）A．221090xyxB．221090xyxC．221090xyxD．221090xyx8．如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”。在下面五个点M（1，1），N（1，2），P（2，1），Q（2，2），G（2，12）中，“好点”的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．已知双曲线的两个焦点为)0,5(1F，)0,5(2F，P是此双曲线上的一点，且21PFPF，12||||2PFPF，则该双曲线的方程是（）A．13222yxB．12322yxC．1422yxD．1422yx10．由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线的概率为（）A．29189B．2963C．3463D．47第Ⅱ卷（选择题共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）11．若圆锥曲线15222kykx的焦距与k无关，则它的焦点坐标是__________．12．nxx23的展开式中第9项是常数项，n的值是13．若点A（1，2）和B（1，1）在直线3x-y+m=0的异侧，则m的取值范围是______________14．椭圆22ax+22by=1(ab0)上两点A，B与中心O的连线互相垂直，则2211OAOB=三．解答题：（每小题14分，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知向量m=（sinB，1－cosB)，且与向量n（2，0）所成角为3，其中A,B,C是⊿ABC的内角．（1）求角Ｂ的大小；（2）求sinA+sinC的取值范围．16.有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机投掷一次，所得点数较大者获胜.⑴分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望；⑵投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？17．已知抛物线24yx上两定点A、B分别在对称轴两侧，F为焦点，且2,5AFBF，在抛物线的AOB一段上求一点P，使ABPS最大，并求面积最大值。18．已知函数f(x)=(x2+23)(x+a)(aR)(1)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的范围；(2)若'f(-1)=0,(I)求函数f(x)的单调区间；（II）证明对任意的x1、x2(-1,0),不等式|f(x1)-f(x2)|165恒成立。19．双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为62，相应于焦点F（c,0）（c＞0）的准线l与x轴交于点A，且|OF|=3|OA|。过点F的直线与双曲线交于P、Q两点。（Ⅰ）求双曲线的方程及离心率；（Ⅱ）若AQAP=0，求直线PQ的方程。20．设A（x1,y1）,B(x2,y2)是函数f(x)=xx1log212的图象上任意两点，且)(21OBOAOM，已知点M的横坐标为21.（1）求证：M点的纵坐标为定值；（2）若Sn=f(nnnfnfn),1()2()1∈N*，且n≥2,求Sn;（3）已知an=2)1)(1(11321nSSnnn，其中n∈N*.Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜λ(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立，试求λ的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题题号12345678910答案DBDCADACCB二、填空题11．)7,0(12．1213．（-2，-1）14.2222baba三．解答题15.解：（1）∵m=（sinB，1-cosB),且与向量n（2，0）所成角为,3∴,3sincos1BB∴tan,3,32,32032CABBB即又（2）由（1）得)3sin(cos23sin21)3sin(sinsinsinAAAAACA∵30A∴3233A∴1,23sinsin,1,23)3sin(CAA当且仅当1sinsin,6CACA时16．（理科）解：⑴红色骰子投掷所得点数为1是随即变量，其分布如下：182P3132E1＝8·31＋2·32＝4蓝色骰子投掷所得点数2是随即变量，其分布如下：271P2121E2=7·21+1·21=4⑵∵投掷骰子点数较大者获胜，∴投掷蓝色骰子这若获胜，则投掷后蓝色骰子点数为7，红色骰子点数为2，∴投掷蓝色骰子获胜概率是6463=21·31＝3117．解：P1(,1)4，最大ABPS=27418．解：3233()22fxxaxxa，23'()322fxxax⑴函数()fx的图象有与x轴平行的切线，'()0fx有实数解2344302a则，292a，所以a的取值范围是332][222（，，）⑵'(1)0f，33202a，94a，2931'()33()(1)222fxxxxx（Ⅰ）由'()01fxx得或12x；由1'()012fxx得()fx的单调递增区间是1(,1),(,)2；单调减区间为1(1,)2（Ⅱ）易知()fx的最大值为25(1)8f，()fx的极小值为149()216f，又27(0)8f()fx在[10]，上的最大值278M，最小值4916m对任意12,(1,0)xx，恒有1227495|()()|81616fxfxMm19．（Ⅰ）由题意，设曲线的方程为2222byax=1（a＞0b＞0）由已知cacca22235解得a=3，c=3所以双曲线的方程这6322yx=1离心率e=3……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（1，0），F（3，0），当直线PQ与x轴垂直时，PQ方程为x=3.此时,AQAP≠0,应舍去.当直线PQ与x轴不垂直时,设直线PQ的方程为y=(x–3).由方程组316322xkyyx得069622222kxkxk由一过点F的直线与双曲线交于P、Ｑ两点，则2k－２≠０，即k≠2，由于△＝364k-4(2k-2)(92k+6)=48(2k+1)＞0即k∈R.∴k∈R且k≠2（*）设Ｐ（1x，1y），Ｑ（2x，2y），则226912622212221kkxxkkxx由直线PQ的方程得1y=k（1x-3），2y=k（2x-3）于是1y2y=2k（1x-3）（2x-3）=2k[1x2x-3（1x+2x）+9]（3）∵AQAP=0，∴（1x-1，1y）·（2x-1，2y）=0即1x2x-（1x+2x）+1+1y2y=0（4）由（1）、（2）、（3）、（4）得9263269126269222222222kkkkkkkkk=0整理得2k=21∴k=22满足（*）∴直线PQ的方程为x－y2-3=0或x+y2-3=020．（1）证明：∵),(21OBOAOM∴M是AB的中点.设M点的坐标为（x,y）,由21（x1+x2）=x=21,得x1+x2=1，则x1=1-x2或x2=1-x1.而y=21(y1+y2)=21［f(x1)+f(x2)］=21(21+log2)1log21122211xxxx=21(1+log2)1log122211xxxx=21(1+log2)1·12211xxxx=21(1+log2,21)0121··2121（）xxxx∴M点的纵坐标为定值21.（2）由（1）知x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1,Sn=f(),1()2()1nnfnfnSn=f()1()2()1nfnnfnn,两式相加得：2Sn=［f()1()1nnfn)+［f()2()2nnfn)+…+［f()1()1nfnn)=1111n∴Sn=21n(n≥2,n∈N*).(2)当n≥2时,an=114114().(1)(1)(1)(2)12nnSSnnnnTn=a1+a2+a3+…+an=432［()1111()4131nn)=432(.22)2131nnn由Tn＜λ(Sn+1+1)得22nn＜λ·.22n∴λ＞.444444)2(422nnnnnnn∵n+n4≥4,当且仅当n=2时等号成立,∴.21444444nn因此λ＞21，即λ的取值范围是（,21+∞）