崇文区统练(一)高三数学(理科)

崇文区2005年统练（一）高三数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。第I卷（选择题共40分）参考公式：三角函数的积化和差公式)sin()sin(21cossin)sin()sin(21sincos)cos()cos(21coscos)cos()cos(21sinsin3选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）函数y=sin（x+）是偶函数，则的一个值是（）（A）4（B）2（C）（D）2（2）平面内有一固定线路AB，|AB|=4，动点P满足|PA|－|PB|=3，O为AB中点，则|OP|的最小值为（）（A）3（B）2（C）23（D）1（3）下列不等式中成立的是（）（A）sin（5）＞sin（6）（B）cos（5）＞cos（6）（C）tg（5）＞tg（6）（D）ctg（5）＞ctg（6）（4）直线l1与l2互相平行的一个充分条件是（）（A）l1，l2都平行于同一平面（B）l1，l2与同一平面所成的角相等（C）l1平行l2所在的平面（D）l1，l2都垂直于同一平面（5）极坐标方程cos3sin的图形是（）（6）6本不同的图书全部分给2个学生，每个学生最多4本，则不同的分法种数为（）（A）35（B）50（C）70（D）100（7）无穷等比数列{an}的首项a1=3，前n项和为Sn且7863SS，则nnSlim等于（）（A）2（B）－2（C）6（D）－6（8）设函数y=f（x）的图象与函数y=2x－1的图象关于直线y=x对称，则函数f（x2－x－3）的单调递减区间为（）（A）（1,）（B）（－∞，21]（C）（2，+∞）（D）[21，+∞第II卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。（9）复数i31的共轭复数的平方是__________.（10）已知两点P1（－1，2）、P2（2，－3），点P（x，1）分21PP所成的比为=______；x=_______.（11）已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作y=f（t）.下表是某日各时的浪高数据：t（时）03691215182124y（米）1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，y=f（t）的曲线可近似地看成是函数y=Acoswt+b，根据以上数据，函数的解析式为___________________（12）设全集为R，若集合A={x|x2－3x+2＜0，集合B={x|log21x+log21(x+1)＜－1，则是B=___________；A∪B____________.（13）已知二次函数f（x）=x2－3x+p－1，若在区间[0，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0，则实数P的取值范围是_____________.（14）正四棱锥的全面积为2，当正四棱锥的高为h时，底面边长a=_____；体积V的最大值为__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足4sin2.272cos2BCA（Ⅰ）求角B的度数；（Ⅱ）如果b=3，a+c=3且a＞c，求a、c的值.（16）（本小题满分15分）如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小.（17）（本小题满分12分）某地区预计从2005年初的前n个月内，对某种商品的需求总量f（n）（万件）与月份n的近似关系为f（n）=1501n（n+1）（35－2n）（n∈N，n≤12）.（Ⅰ）求2005年第n个月的需求量g（n）（万件）与月份n的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过1.4万件.（Ⅱ）如果将该商品每月都投放市场P万件，要保持每月都满足供应，则P至少为多少万件？（18）（本小题满分13分）已知等差数列{an}的公差不为零，首项a1=2且前n项和为Sn.（Ⅰ）当S9=36时，在数列{an}中找一项am（m∈N），使得a3，a9，am成为等比数列，求m的值.（Ⅱ）当a3=6时，若自然数n1，n2，…，nk，…满足3＜n1＜n2＜…＜nk＜…并且a1，a3，an1，an2，…，ank，…是等比数列，求nk的值.（19）（本小题满分13分）设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G，若A（－1，0），B（1，0）且MG∥AB.（Ⅰ）求三角形ABC顶点C的轨迹方程；（Ⅱ）设顶点C的轨迹为D，已知直线l过点（0，1）并且与曲线D交于P、N两点，若O为坐标原点，满足OP⊥ON，求直线l的方程.（20）本小题满分15分已知函数f（x）=222223xxxx（其中x≥1且x≠2）.（Ⅰ）求函数f（x）的反函数f)(1x；（Ⅱ）设g(x)=3)(11xxf，求函数g（x）最小值及相应的x值；（Ⅲ）若不等式（1－x）·f)(1x＞m（m－x）对于区间〔21,41〕上的每一个x值都成立，求实数m的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题（1）B（2）C（3）D（4）D（5）C（6）B（7）A（8）A二、填空题（9）i322（10）52;41（11）y=16cos21t（12）{x|x≤1}；{x|x≤1或x≥2}（13）（1，+∞）（14）61;1122hh三、解答题（15）解（Ⅰ）在△ABC中，A+B+C=180°，由4sin2,272cos2BCA得4·,271cos22)cos(12BCA（3分）所以，4cos2B－4cosB+1=0，于是，cosB=21,B=60°.（6分）（Ⅱ）根据余弦定理有b2=a2+c2－2accosB，又b=3，a+c=3.所以，3=(a+c)2－2ac－2accosB，得ac=2.（10分）又,2,3acca解得a=2，c=1.（12分）（16）证（Ⅰ）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，∴D1D⊥ABCD.连AC，又底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，由三垂线定理知D1B⊥AC.同理，D1B⊥AE，AE∩AC=A，∴D1B⊥平面AEC.（5分）解（Ⅱ）VB－AEC=VE－ABC.∵EB⊥平面ABC，∴EB的长为E点到平面ABC的距离.∵Rt△ABE~Rt△A1AB，∴EB=.4912AAAB∴VB－AEC=VE－ABC=31S△ABC·EB=31×21×3×3×49=.827（10分）解（Ⅲ）连CF，∵CB⊥平面A1B1BA，又BF⊥AE，由三垂线定理知，CF⊥AE.于是，∠BFC为二面角B—AE—C的平面角，在Rt△ABE中，BF=59AEBEBA，在Rt△CBF中，tg∠BFC=35，∴∠BFC=arctg35.即二面角B—AE—C的大小为arctg35.（15分）（17）解（Ⅰ）由题意知，g（1）=f（1）=251133211501，当n≥2时，g（n）=f（n）－f（n－1）=1501n（n+1）（35－2n）－1501（n－1）n〔35－2（n－1）〕=1501n〔（n+1）（35－2n）－（n－1）（37－2n）〕=1501n（12－n）.又),1(2511)112(1251g∴g（n）=)12(251nn(n∈N，n≤12).（5分）由251n(12－n)＞1.4，得n2－12n+35＜0，∴5＜n＜7，又n∈N，∴n=6，即6月份的需求量超过1.4万件.（7分）（Ⅱ）要保持每个月都满足供应，则每月投放市场的商品数P（万件）应满足Pn≥f（n）.即Pn≥1501n（n+1）（35－2n）.∴P≥1501（n+1）（35－2n）=－)235233(7512nn，∵n∈N，当n=8时，1501（n+1）（35－2n）的最大值为1.14万件.即P至少为1.14万件.（12分）（18）解（Ⅰ）∵数列{an}的公差d≠0，a1=2，S9=36，∴36=9×2+21×9×8d，∴d=21，∴a3=3,a9=6.（3分）由a3,a9,am成等比数列，则amaa329，得am=12，又12=2+（m－1）×21，∴m=21.（7分）（Ⅱ）∵{an}是等差数列，a1=2，a3=6，∴d=2.∴an=2n.又a1，a3，1na成等比数列，∴公比q=3，∴kna=a1·qk+1=2·3k+1,又kna是等差数列中的项，∴kna=2nk，∴2nk=2·3k+1，∴nk=3k+1(k∈N).（13分）（19）解（Ⅰ）设C（x，y）（xy≠0）.∵MG∥AB，可设G（a、b），则M（0，b）.∴x=3a，y=3b.①∵M是不等边三角形ABC的外心，∴|MA|=|MC|，即.)(1222ybxb②由①②得x2+132y,∴三角形顶点C的轨迹方程为x2+132y(xy≠0).（5分）（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+1，又设P（x1，y1），N（x2，y2）.由.13,122yxkxy消y，得(3+k2)x2+2kx－2=0，∵直线l与曲线D交于P、N两点，∴b2－4ac=4k2+8(3+k2)＞0.又.32,32221221kxxkkxx∵OP⊥ON，∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=0,∴(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=0,∴(1+k2)(232k)+k(232kk)+1=0.∴k=.33∴直线l的方程为y=33x+1.（13分）（20）解（Ⅰ）f（x）=2211)2)(1()2)(1(xxxxxx（x≥1且x≠2）.∵0≤11xx＜1且11xx≠31，∴函数f（x）=222223xxxx的值域为〔0，)91∪（91，1）.由f（x）=211xx，得xxxf11)(1，因此，函数y=f（x）的反函数xxxf11)(1x∈〔0，91∪（91，1）.(6分)（Ⅱ）1)1(12311)(xxxxxxg≥22+1，当且仅当122)(,223,112有最小值时即xgxxx.（10分）（Ⅲ）由（1－x）·)(1xf＞m（mx），得1+x＞m2－mx.设x=t，则(t)=(1+m)(t+1－m).根据题意，对区间〔22,21〕中的一切t值，(t)＞0恒成立.则得∴∴－1＜m＜23.即实数m的取值范围是m∈（－1，23）.（15分）