函数对称中心的求法解析

函数对称中心的求法解析题目函数32()367fxxxx的图象是中心对称图象，其对称中心为________.一、利用定义求对称中心分析根据中心对称图形的定义，在函数()fx图象上的任意一点(,)Axy关于对称中心(,)ab的对称点(,)Axy也在函数()fx的图象上.∴22xxayyb，即22xaxyby.∴(2,2)Aaxby，代入函数式有：322(2)(2)3(2)6(2)7byfaxaxaxax,化简得：32232(36)(12126)(2781212)yxaxaaxbaaa，与32()367fxxxx是同一函数，则对应系数相等，故23236312126627812127aaabaaa，∴1a，3b，即函数()fx的对称中心为(1,3).点评利用中心对称的定义求解是基本方法，考察基本概念，通过同一函数的对应系数相等构建方程解出对称中心.二、巧取特殊点求对称中心分析在函数()fx的图象上取点(1,3)、(2,1)，它们关于对称中心(,)ab的对称点分别为(21,23)ab、(22,21)ab也在函数()fx的图象上.∴323223(21)3(21)6(21)721(22)3(22)6(22)7baaabaaa，相减则26(253)0aa，∴13ab或321ab.又若对称中心为3(,1)2，则(0,7)关于3(,1)2的对称点(3,9)应在函数图象上，而(3)119f，∴3(,1)2不是对称中心，故对称中心为(1,3).点评这里巧妙地在函数图象上取两个特殊点，构建关于对称中心坐标的方程，解出对称中心，但要注意由特殊点求出的解是否也满足一般的点，因此还要继续检验，排除增解.三、巧构奇函数求对称中心分析把函数()yfx变形为33(1)3(1)yxx，设函数3()ygxxx，∵()ygx为奇函数，∴其对称中心为(0,0)O，又将函数3yxx的图象按向量(1,3)a平移刚好得到33(1)3(1)yxx，∴()yfx的对称中心是由()ygx的对称中心(0,0)O按向量(1,3)a平移得到的，即为(1,3)．∴()yfx的对称中心为(1,3)．点评这里巧妙地构造奇函数，将原函数看作是由奇函数平移得到的，利用奇函数关于原点对称的性质，这样原函数的对称中心就是由奇函数的对称中心按向量平移得到的.【2013春考】31．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分。已知真命题：“函数()yfx的图像关于点()Pab、成中心对称图形”的充要条件为“函数()yfxab是奇函数”。（1）将函数32()3gxxx的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数()gx图像对称中心的坐标；（2）求函数22()log4xhxx图像对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数()yfx的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数()yfxab是偶函数”。判断该命题的真假。如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）。解:（1）平移后图像对应的函数解析式为32(1)3(1)2yxx，整理得33yxx，由于函数33yxx是奇函数，由题设真命题知，函数()gx图像对称中心的坐标是(12)，。（2）设22()log4xhxx的对称中心为()Pab，，由题设知函数()hxab是奇函数。设()(),fxhxab则22()()log4()xafxbxa，即222()log4xafxbax。由不等式2204xaax的解集关于原点对称，得2a。此时22(2)()log(22)2xfxbxx，，。任取(2,2)x，由()()0fxfx，得1b，所以函数22()log4xhxx图像对称中心的坐标是(21)，。（3）此命题是假命题。举反例说明：函数()fxx的图像关于直线yx成轴对称图像，但是对任意实数a和b，函数()yfxab，即yxab总不是偶函数。修改后的真命题：“函数()yfx的图像关于直线xa成轴对称图像”的充要条件是“函数()yfxa是偶函数”。长宁区2013—2014学年第一学期高三教学质量检测数学试卷（文科）22、（本题满分16分，其中（1）小题满分4分，（2）小题满分6分，（3）小题满分6分）已知函数xxaxxf1log1)(2为奇函数.（1）求常数a的值；（2）判断函数的单调性，并说明理由；（3）函数)(xg的图象由函数)(xf的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，写出)(xg的一个对称中心，若1)(bg，求)4(bg的值。22、解：(1)因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，由01xxa，得0))(1(axx，所以1a。…………2分这时xxxxf11log1)(2满足)()(xfxf，函数为奇函数，因此.1a…………4分（2）函数为单调递减函数.)121(log1)(2xxxf法一:用单调性定义证明；法二：利用已有函数的单调性加以说明。121x在)1,1(x上单调递增，因此)121(log2x单调递增，又x1在)0,1(及)1,0(上单调递减，因此函数)(xf在)0,1(及)1,0(上单调递减；法三：函数定义域为)1,0()0,1(，说明函数在)1,0(上单调递减，因为函数为奇函数，因此函数在)0,1(上也是单调递减，因此函数)(xf在)0,1(及)1,0(上单调递减。…………10分（3）因为函数)(xf为奇函数，因此其图像关于坐标原点（0,0）对称，根据条件得到函数)(xg的一个对称中心为)2,2(，…………13分因此有4)()4(xgxg，因为1)(bg，因此.3)4(bg…………16分