随机过程-习题-第3章

随机过程习题第3章3-13.1设有一泊松过程0,)(ttNP，若有两个时刻s、t，且st，试证明knktstsknntNksNP1)(/)(其中，nk,,2,1,0。证明：依条件概率定义和泊松过程为独立增量过程的性质可得knktnstknsktstsknnetknestkesntNPknsNtNksNPntNksNP1!)()!()]([!)()()()(,)()(/)()(从另一个角度考虑，泊松事件到达时间分布是[0，t]内的均匀分布。定义事件A为一个泊松事件出现在[t，s]内，事件A发生的概率为ts，不发生的概率为ts1。于是knktstsknkPntNksNP1}{A)(/)(次事件发生3.2设顾客以泊松分布抵达银行，其到达速率为。若已知在第一个小时内有两个顾客抵达银行，问：（1）此两个顾客在最初的20分钟内抵达银行的概率为何？（2）至少有一个顾客在最初的20分钟内抵达银行的概率为何？(1)解：此两个顾客在最初的20分钟内抵达银行的概率为91!260!040!220}2)60({}0)40(,2)20({2)60(/2)20(602400202eeeNPNNPNNP随机过程习题第3章3-2从另一个角度考虑，每个顾客到达时间在[0，60]内均匀分布，且相互统计独立。所以在[0，20]间到达的概率为316020，设此事件为A，则事件A不发生的概率为32，于是9132312)60(/2)20(0222CNNP(2)至少有一个顾客在最初的20分钟内抵达银行的概率为95!260!040!220!140!120}2)60({}0)40(,2)20({}1)40(,1)20({2)60(/1)20(602400202401201eeeeeNPNNPNNPNNP或者从另一个角度考虑95323132312)60(/1)20(02221112CCNNP3.3设}0),({ttN为泊松过程，其参数为。设)()(stN是随机变量)(tN的母函数，证明：(1))()()()()()(ssstNtNttN(2)tsstsststNttNtNttNttN1)(lim)()()(lim)()(0)()()(0)((3)当1s时，)1(1)(lim)(0ststNt或)()1()()()(sststNtN(1)证明：首先，)()()(tNtNttN因为泊松过程是独立增量过程，所以)(ttN的母函数等于)(tN和)(tN的各自母函数的乘积。即，)()()()()()(ssstNtNttN随机过程习题第3章3-3(2)证明：利用（1）中的结论，)()()()()()(ssstNtNttN则]1)()[()()()()()()(sssstNtNtNttN所以tsststNttNttN)()(lim)()()(0)(=tsstNttN1)(lim)()(0)(（)()(stN与t无关）(3)根据泊松过程及其母函数的定义，有)()1()(10)(ttsststN其中，当0t时，)(t为t的高阶无穷小，即)1()()1(1)(lim)(0sttsttstNt利用（2）中的结论，得)()1(1)(lim)()()()(0)()(sstsststNtNttNtN3.4利用习题3.3得到的偏微分方程式求：(1)泊松过程}0,)({ttN的母函数)()(stN的表示式；(2),2,1,0,})({kktNP的表示式。解：（1）由习题3.3之(3)得)()1()()()(sststNtN解此偏微分方程得tsstNd)1()(ln)(于是，泊松过程}0,)({ttN的母函数为)1()()(sttNes随机过程习题第3章3-4（2）将上述结果对s做泰勒展开得3322)(!3)(!2)(11)(stststesttN其中，ks项系数之和就是})({ktNP。即tkektktNP!)(})({3.5设有非齐次泊松过程0),(ttN，它的均值函数)(tm可以表示为tttm2)(2)0(t，求在5,4tt间出现n个事件的概率。解：非齐次泊松过程0),(ttN在],[21tt时间段内出现n个事件的概率为)0(,!)]()([})()(Pr{)]()([121212nentmtmntNtNtmtmn其中，5,421tt时1184105)4()5(22mm于是，所求概率为11!11)4()5(ennNNPn3.6设,是两个非负整值随机变量，定义二元离散随机变量的母函数为),(21zz=0021},{knnknkPzzk，n均为非负整数(1)求)(z，用),(21zz表示之。(2)若,相互统计独立的随机变量，试证明：),(21zz=)(1z)(2z(3)设有随机变量w，求随机变量w的母函数，用),(21zz表示之(4)设有二元随机变量、，母函数为)exp(),(2122112121zbzzazabaazz其中，baa,,210，问的分布是否符合泊松分布？的分布是否符合泊松分布？和是否统计独立？若w是否符合泊松分布？随机过程习题第3章3-5(1)解：的母函数为)1,(},{}{)(000znkPzkPzzknkkk(2)证明：若与相互统计独立，则)()(}{}{),(21002121zznPkPzzzzknnk(3)解：w的母函数为00000},{},{}{)(iikkikiikiiiwkikPzzkikPziwPzz若设kin，则),(},{)(00zznkPzzznknkw(4)证明：和的二元母函数为),(21zz=}exp{21221121zbzzazabaa根据（1）的结论得)1,()(11zz=)}1)(exp{(11zba同理得),1()(22zz=)}1)(exp{(22zba所以),()()(2121zzzz即和不相互统计独立。根据(3)的结论得]}1)[exp{(})(exp{),()(222121babzbaazbabzzaabaazzzw随机过程习题第3章3-6其中，21aaa。显然，这不是泊松分布，但是为复合泊松分布。即概率分布为baaP}1{和babP}2{的随机变量和参数为ba的泊松过程构成的复合泊松过程。3.7设}0),({1ttN和}0),({2ttN是相互统计独立的泊松过程，其参数分别为)()()(210tNtNtN问}0),({0ttN是否为泊松过程？解：由于)(1tN和)(2tN相互统计独立，并且)]([)()()()(21210tNtNtNtNtN所以，)()()(210sGsGsGNNN其中，)1(11)(stNesG，)1(122)(stNesG因此，1)(exp)(1212211210sstsGN显然，这不是泊松分布，但是为复合泊松分布。由概率分布为211}1{P和212}1{P的随机变量和参数为21的泊松过程构成的复合泊松过程。3.8设有复合泊松过程0,)()(1tYtXtNnn其中，,3,2,1,nYn是彼此统计独立、同分布的随机变量，0),(ttN是一泊松过程，nY与)(tN也是统计独立的。求复合泊松过程0),(ttX的特征函数。如果,3,2,1,nYn的概率分布为211}1{nYP，212}1{nYP随机过程习题第3章3-7而泊松过程0),(ttN的参数21，试证明0),(ttX的特征函数为])(exp[)(2121)(ttetevjvjvtX试比较结果与3.7题所得的结果，说明3.7题的)()()(210tNtNtN是复合泊松过程。(1)解：首先，随机变量)(tX的概率密度函数为1)(|))(|(})({)(vvtNXXvtNxfvtNPxf由于vYYY21为v个独立同分布的随机变量之和，故其特征函数为vYjuxvtNXvtNXuxevtNxfu)(d))(|()()(|)(|其中，)(uY为),,3,2,1(viYi的特征函数。而)(tX的特征函数为)]([)(})({d))(|(})({d))(|(})({d)()(1)(|1)(|1uGuvtNPxevtNxfvtNPxevtNxfvtNPxexfuYvvYjuxvtNXvjuxvtNXvjuxXX其中，函数(.)G为泊松过程0),(ttX的母函数。上式就是复合泊松过程的特征函数。(2)证明：),3,2,1(nYn的概率分布为211}1{nYP，212}1{nYP于是，其特征函数为jujuYeeu212211)(而参数为21的泊松过程0),(ttN的母函数为随机过程习题第3章3-8)1()(exp)(21stsG于是，根据(1)的结论可得复合泊松过程的特征函数为])(exp[)]([)(2121tteteuGujvjvYX此结果与习题3.7的)()()(210tNtNtN的母函数具有等价的形式，因此可以证明习题3.7中的)()()(210tNtNtN是一复合泊松过程。3.9在某交通道上设置一个车辆记录器，记录南行、北行车辆的总数。设X(t)代表在[0，t]内南行的车辆数，Y(t)代表在[0，t]内北行的车辆数，X(t)、Y(t)均服泊松分布，且相互统计独立；设和分别代表在单位时间内通过的南行、北行车辆的平均数。如果在t时车辆纪录器记录的车辆数为n，问其中k辆属于南行车的概率为何？解：设)()()(tYtXtN)(tX与)(tY是相互统计独立的，所以)()()(sGsGsGYXN这说明)(tN是参数为的泊松过程。于是，当t时刻记录的车辆数为n时，其中k辆属于南行车的概率为ntYtXktXP)()(/)(nknkkntntkntkCentekntektntYtXPkntYPktXP)(!])[()!()(!)()()()()()(从另一个角度考虑，一辆车南行的概率为随机过程习题第3章3-9