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通径分析主要内容通径图与模型模型系数的分解递归通径模型与非递归通径模型通径模型的识别(或称确认)与检验在研究多个相关变量间的线性关系时，除了可以采用多元线性回归分析和偏相关分析，还可以采用通径分析（pathanalysis）。通径图与模型多变量统计分析是研究变量之间有相互联系、影响或有相关性的学科。最方便而又直观地表示变量间相互关系的方法是用通径图。为直观起见，先讨论一个因变量、两个自变量的情况。设三个相关变量y与x1、x2间存在线性关系，y为依变量（结果），x1、x2为自变量（原因）且彼此相关，回归方程为：或其中e为剩余项。自变量x1、x2与依变量y的通径图在图中，单箭头线“”表示变量间存在着因果关系，方向为由原因到结果，称为通径（path），也称为直接通径。双箭头线“”表示变量间存在着平行关系（互为因果），称为相关线（correlationline），一条相关线相当于两条尾端相联的通径。将包含两条或两条以上通径、也可以包含一条相关线的链称为间接通径。如图中，x1→y为通径或直接通径，x1x2y为间接通径。这种用来表示相关变量间因果关系与平行关系的箭形图称为通径图（pathchart）。图1.1中,A是父亲的智商(IQ),B是母亲的智商(IQ),C是子女的智商(IQ),X是与A及B不相关的另外原因变量,A、B、C间的关系如图1。这里单箭头表示A及B是原因变量,C是结果变量;双向箭头表示相关性。图1.1表示A与B有相关性,而不认为X与A及B有相关性,图1可写成公式:C=A+B+X(这里未考察每个变量的影响大小)图1.2是常用的可靠性检验(Reliabilitytest)通径图,A及B如分别表示儿童的身高及体重,T是影响A及B的公共因子(factor),比如可称为“生长因子”。这个T是不能直接测量到的,它是隐藏在A及B内部。也可以说A及B的大小是受T所决定,而U及V则是A、B中不受T支配的残差(或称误差)变量。图1.3是表示有时间性的通径图,其中A、B表示两个变量,X、Y是残差,足标1、2、3分别表示在时间1、时间2、时间3。变量的分类按可否直接测量到该变量,变量可分为“表型变量”(ManifestVariable,也称显变量,它总是用一个方框去识别它)、及隐型变量(LatentVariable,它总是用一个圆形框去识别它)。这里的隐型变量(即隐变量)是无法直接测量到的,它应当是客观存在的。如按变量的“因果关系”分类,即按通径图中箭头的指向去划分变量,则可以把箭头起始的变量(也称原因变量)称为“外生变量”(ExogenousVariable)、独立变量(Independent)、源变量(Source)或上游变量;这是因为此变量的变化由通径图以外的原因产生的。把箭头指向(终点)的变量称为“内生变量”(EndogenousVariable)、因变量(Dependent)、下游变量或结果变量;因为此变量的取值依赖于箭头上端变量的变化及误差项,所以被称为“内生”。注意:此处所述的“原因变量”是比较含糊的,不可严格地当作“因果关系”中的原因,但它可以为实际工作者提出一种重要的启示:便于从专业角度去检验它是否确是真实的“原因”。直接作用与间接作用如图1.3,内生变量与外生变量之间有一单向箭头连接的称为直接作用,比如图1.3中A1对A2、A2对B3及B1对B3均有直接作用,但A1对B3没有直接作用。A1的变化可引起A2的变化,而A2的变化又引起B3的变化,所有A1对B3有间接作用。间接作用可以不止一个通路。目前的统计软件SAS及SPSS不认为A1可以通过B1而作用于B3,因为A1与B1仅是相关而不是“因果”关系。通径系数（pathcoefficient）通径图直观、形象地表达了相关变量间的关系，仅定性地表达还不够，还须进一步用数量表示因果关系中原因对结果影响的相对重要程度与性质、平行关系中变量间相关的相对重要程度与性质，也就是必须用数量表示“通径”与“相关线”的相对重要程度与性质。通径系数描述通径图中变量间“因果关系”强弱的指标是通径系数。其定义就是内生变量(因变量)在外生变量(自变量)上的偏回归系数。当表型变量是标准化数据时,通径系数就是标准化回归系数。单箭头上的小写字母表示通径系数,双箭头表示相关性,如果A1与B1是标准化变量,则双箭头上的r即是它们间的相关系数。图1.3的结构方程式为:A2=aA1+bB1+eXB3=cB1+dA2+fY但A1与B1间的相关性无法在方程式中表示出来。图1.3中B1在B3上的直接作用是c;而B1通过A2作用于B3上的间接作用为bd;因此B1对于B3的总的作用(也称总效应)是c+bd。在早期的通径分析中,由于A1与B1有相关性(r),而认为B1可以通过A1,再经过A2,可以间接地作用于B3,大小为rad。二、模型系数分解分解简单回归系数的通径分析计算一个变量对最终反应变量的各种影响以不同通径传递的间接影响在控制某些变量的条件下的总影响的分解工作分解简单相关系数的通径分析标准化数据中,通径图中任何两变量之间可以求模型的相关系数:在一个构造合适的通径图中,任何两个变量间的相关系数就是连结这两点之间的所有复合链上的数值(相关系数及通径系数)的乘积之和。如图1.3:A1到B3的模型相关系数为^rA1B3=ad+rc+rbd——？B1到B3的模型相关系数为^rB1B3=bd+c三、递归通径模型与非递归通径模型1、递归通径模型因果关系结构中全部为单向链条关系，无反馈作用的模型，称为递归模型。2、非递归模型（1）模型中任何两个变量之间存在双向因果关系、即有直接反馈作用；（2）某个变量存在自身反馈；（3）存在间接反馈；（4）内生变量的误差项与其它项目相关；递归通径分析的假设条件（1）通径模型中各变量之间的关系为线性、可加的因果关系；（2）每一内生变量的误差项与其前置变量不得相关，同时也不得与其他内生变量的误差项相关；（3）模型中的因果关系必须为单向，不得包括各种形式的反馈作用；（4）各变量测量不存在误差。四、通径图(模型)的识别(或称确认)通径图的完全性一个合适的通径图中：(1)所有外生变量之间,如有相关性,都应用双箭头表示出来。(2)所有内生变量之间不画相关性双箭头;但内生变量的残差之间如有相关性,则要用双箭头画出,没有双箭头表示的都被认为是不相关的。(3)在内生变量与外生变量之间有显著意义的直接作用,其箭头都应被画出来。(1)恰好通径图:通径图中独立未知参数(包括隐变量的方差、残差的方差)的个数恰好与样本中所能得出的方程组的个数相等。(2)识别不足通径图:通径图中独立未知参数的个数多于样本中所能得出的方程组的个数。因为这时参数的解有无限多组,即解很不确定,这是不能允许的。(3)过度识别通径图:通径图中独立未知参数的个数少于样本中所能得出的方程组的个数。统计学家偏爱这种模型,因为人们可以在待估的参数上附加不同的条件以使所求得的参数满足统计学要求。因此在构造统计图时,首先要识别一个通径图是否满足统计学的要求是最基本的。基本原则是：尽可能地用较少的参数去拟合样本数据,这样的结果也容易去寻找专业的解释。SAS及SPSS统计软件中的隐变量软件在执行统计分析时首先是计算待估参数个数。对于“识别不足”的模型会自动停止计算。使用者如不想对模型的通径图作大的改动,一个简单办法是,先指定一些未知参数的值,特别是隐变量的方差,更是可以自由地指定。