12020春北师大版本数学中考专题演练—几何证明(I卷)全卷满分100分考试时间100分钟第一部分(共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。在给出四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=,则BC的长为()A.﹣1B.+1C.﹣1D.+12.如图,△ABC中,AB=4,AC=3,AD、AE分别是其角平分线和中线,过点C作CG⊥AD于F,交AB于G,连接EF,则线段EF的长为()A.B.1C.D.73.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC,垂足为点E,连接AC交DE于点F,点G为AF的中点,∠ACD=2∠ACB.若DG=3,EC=1,则DE的长为()A.2B.C.2D.4.如图,正方形ABCD的边长为10,AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH,则线段GH的长为()A.B.2C.D.10﹣5第4题第5题第6题第7题5.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC、BE相交于点F,则∠BFC为()A.45°B.55°C.60°D.75°6.如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,DE∥AC,若S△BDE:S△CDE=1:3,则S△DOE:S△AOC的值为()A.B.C.D.7.如图,已知AB、CD、EF都与BD垂直,垂足分别是B、D、F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是()A.B.C.D.8.如图,在△ABC中,∠CAB=65°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置,使CC′∥AB,则旋转角的度数为()A.35°B.40°C.50°D.65°第8题第9题第10题9.如图,点A,B,C在一条直线上,△ABD,△BCE均为等边三角形,连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q,连接PQ,BM,下面结论:①△ABE≌△DBC;②∠DMA=60°;③△BPQ为等边三角形;④MB平分∠AMC,其中结论正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图,在钝角△ABC中,分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,EM平分∠AEB交AB于点M,取BC中点D,AC中点N,连接DN、DE、DF.下列结论:①EM=DN;②S△CDN=S四边形ABDN;③DE=DF;④DE⊥DF.其中正确的结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个2第二部分(共70分)二、填空题(共4个选择题,每题3分,共12分)11.如图,直线a∥b,三角板的直角顶点A落在直线a上,两边分别交直线b于B、C两点.若∠1=42°,则∠2的度数是.12.如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是AB边上的一点,且AE=3,点Q为对角线AC上的动点,则△BEQ周长的最小值为.第12题第13题第14题13.如图,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上,AE=3,点F是边BC上不与点B,C重合的一个动点,把△EBF沿EF折叠,点B落在B′处.若△CDB′恰为等腰三角形,则DB′的长为.14.如图,点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点,以线段AG为边作一个正方形AEFG,线段EB和GD相交于点H.若AB=,AG=1,则EB=.三、解答题(一共9题,共58分)15.(6分)如图,等边△ABC的边长是2,D、E分别为AB、AC的中点,延长BC至点F,使CF=BC,连接CD和EF.(1)求证:DE=CF;(2)求EF的长.16.(6分)如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G.(1)求证:AE=CF;(2)若∠ABE=55°,求∠EGC的大小.17.(6分)如图,点C是线段AB上除点A、B外的任意一点,分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交DC于M,连接BD交CE于N,连接MN.(1)求证:AE=BD;(2)求证:MN∥AB.18.(6分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的一条角平分线.点O、E、F分别在BD、BC、AC上,且四边形OECF是正方形.(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;3(2)若AC=5,BC=12,求OE的长.19.(6分)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.(1)求证:△AEF≌△DEB;(2)证明四边形ADCF是菱形;(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积.20.(6分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,点P是AB边上一点(不与A,B重合),连接CP,过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q,连接CQ.(1)当△CDQ≌△CPQ时,求AQ的长;(2)取CQ的中点M,连接MD,MP,若MD⊥MP,求AQ的长.21.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60,AB=30.D是AC上的动点,过D作DF⊥BC于F,过F作FE∥AC,交AB于E.设CD=x,DF=y.(1)求y与x的函数关系式;(2)当四边形AEFD为菱形时,求x的值;(3)当△DEF是直角三角形时,求x的值.22.(6分)如图,已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC,直径AD交BC于点E,F是OE上的一点,使CF∥BD.(1)求证:BE=CE;(2)试判断四边形BFCD的形状,并说明理由;(3)若BC=8,AD=10,求CD的长.23.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,O是BC边上一点,以O为圆心的半圆与AB边相切于点D,与AC、BC边分别交于点E、F、G,连接OD,已知BD=2,AE=3,tan∠BOD=.(1)求⊙O的半径OD;(2)求证:AE是⊙O的切线;(3)求图中两部分阴影面积的和.42020春北师大版本数学中考专题演练—几何证明(I卷)参考答案与试题解析一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)题号12345678910答案DACBCDCCDD4.【解析】如图,延长BG交CH于点E,在△ABG和△CDH中,,∴△ABG≌△CDH(SSS),AG2+BG2=AB2,∴∠1=∠5,∠2=∠6,∠AGB=∠CHD=90°,∴∠1+∠2=90°,∠5+∠6=90°,又∵∠2+∠3=90°,∠4+∠5=90°,∴∠1=∠3=∠5,∠2=∠4=∠6,在△ABG和△BCE中,,∴△ABG≌△BCE(ASA),∴BE=AG=8,CE=BG=6,∠BEC=∠AGB=90°,∴GE=BE﹣BG=8﹣6=2,同理可得HE=2,在RT△GHE中,GH===2,故选:B.7.【解析】∵AB、CD、EF都与BD垂直,∴AB∥CD∥EF,∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD,∴=,=,∴+=+==1.∵AB=1,CD=3,∴+=1,∴EF=.故选C.10.【解析】∵D是BC中点,N是AC中点,∴DN是△ABC的中位线,∴DN∥AB,且DN=;∵三角形ABE是等腰直角三角形,EM平分∠AEB交AB于点M,∴M是AB的中点,∴EM=,又∵DN=,∴EM=DN,∴结论①正确;∵DN∥AB,∴△CDN∽ABC,∵DN=,∴S△CDN=S△ABC,∴S△CDN=S四边形ABDN,∴结论②正确;如图1,连接MD、FN,,∵D是BC中点,M是AB中点,∴DM是△ABC的中位线,∴DM∥AC,且DM=;∵三角形ACF是等腰直角三角形,N是AC的中点,∴FN=,又∵DM=,∴DM=FN,∵DM∥AC,DN∥AB,∴四边形AMDN是平行四边形,∴∠AMD=∠AND,又∵∠EMA=∠FNA=90°,∴∠EMD=∠DNF,在△EMD和△DNF中,,∴△EMD≌△DNF,∴DE=DF,∴结论③正确;如图2,连接MD,EF,NF,,∵三角形ABE是等腰直角三角形,EM平分∠AEB,∴M是AB的中点,EM⊥AB,∴EM=MA,∠EMA=90°,∠AEM=∠EAM=45°,∴,∵D是BC中点,M是AB中点,∴DM是△ABC的中位线,∴DM∥AC,且DM=;5∵三角形ACF是等腰直角三角形,N是AC的中点,∴FN=,∠FNA=90°,∠FAN=∠AFN=45°,又∵DM=,∴DM=FN=FA,∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD,∠EAF=360°﹣∠EAM﹣∠FAN﹣∠BAC=360°﹣45°﹣45°﹣(180°﹣∠AMD)=90°+∠AMD;∴∠EMD=∠EAF,在△EMD和△∠EAF中,∴△EMD∽△∠EAF,∴∠MED=∠AEF,∵∠MED+∠AED=45°,∴∠AED+∠AEF=45°,即∠DEF=45°,又∵DE=DF,∴∠DFE=45°,∴∠EDF=180°﹣45°﹣45°=90°,∴DE⊥DF,∴结论④正确.∴正确的结论有4个:①②③④.故选:D.二、填空题(每题3分,共12分)11.48°12.613.16或414.13.【解析】(i)当B′D=B′C时,过B′点作GH∥AD,则∠B′GE=90°,当B′C=B′D时,AG=DH=DC=8,由AE=3,AB=16,得BE=13.由翻折的性质,得B′E=BE=13.∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5,∴B′G===12,∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4,∴DB′===4(ii)当DB′=CD时,则DB′=16(易知点F在BC上且不与点C、B重合).(iii)当CB′=CD时,∵EB=EB′,CB=CB′,∴点E、C在BB′的垂直平分线上,∴EC垂直平分BB′,由折叠可知点F与点C重合,不符合题意,舍去.综上所述,DB′的长为16或4.故答案为:16或4.14.【解析】连接BD交AC于O,∵四边形ABCD、AGFE是正方形,∴AB=AD,AE=AG,∠DAB=∠EAG,∴∠EAB=∠GAD,在△AEB和△AGD中,,∴△EAB≌△GAD(SAS),∴EB=GD,∵四边形ABCD是正方形,AB=,∴BD⊥AC,AC=BD=AB=2,∴∠DOG=90°,OA=OD=BD=1,∵AG=1,∴OG=OA+AG=2,∴GD==,∴EB=.故答案为:.三、解答题(共50分)15.(6分)【解析】(1)证明略;(2)解:DC=EF=.16.(6分)【解析】(1)证明:△AEB≌△CFB(SAS),AE=CF.(2)∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°.17.(6分)【解析】证明:(1)△ACE≌△DCB(SAS),∴AE=BD;(2)证明略18.(6分)【解析】(1)证明:过点O作OM⊥AB,∵BD是∠ABC的一条角平分线,∴OE=OM,∵四边形OECF是正方形,∴OE=OF,∴OF=OM,∴AO是∠BAC的角平分线,即点O在∠BAC的平分线上;(2)解:∵在Rt△ABC中,AC=5,BC=12,∴AB===13,设CE=CF=x,BE=BM=y,AM=AF=z,∴,解得:,∴CE=2,∴OE=2.619.(6分)【解析】(1)证明:△AFE≌△DBE(AAS);(2)证明:由(1)知,△AFE≌△DBE,则AF=DB.∵DB=DC,∴AF=CD.∵AF∥BC,∴四边形ADCF是平行四边形,∵∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,∴AD=DC=BC,∴四边形ADCF是菱形;(3)连接DF,∵AF∥BD,AF=BD,∴四边形ABDF是平行四边形,∴DF=AB=5,∵四边形ADCF是菱形,∴S菱形ADCF=AC▪DF=×4×5=10.20.(6分)【解析】(1)∵△CDQ≌△CPQ,∴DQ=PQ,PC=DC,∵AB=DC=5,AD=BC=3,∴PC=5,在Rt△PBC中,PB==4,∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1,设AQ=x,则DQ=PQ=3﹣x,在Rt△PAQ中,(3﹣x)2=x2+12,解得x=,∴AQ=.(2)如图2,过M作EF⊥CD于F,则EF⊥AB,∵MD⊥MP,∴∠PMD=90°,∴∠PME+∠DMF=90°,是QC的中点,∴DM=QC,∵∠FDM+∠DMF=90°,∴∠MDF=∠PME,∵MPM=QC,∴DM