有限差分法计算金属槽内电位分布

班级：物理08-2B姓名：胡艳学号：08070201010jinjinjinjinjinjinjin,41,1,111,,14,,1nsin12一、选题依据求解电位分布问题是物理学中最常见的问题之一，采用有限差分法解决此类问题是十分有效的。差分方程确定之后，一般选用迭代法求解，这是由于方程组系数矩阵中有大量元素为零，并且系数矩阵形成比较简单，有规律和重复。在迭代过程中常常可以一边形成系数矩阵一边计算，以节省内存，因而迭代法比直接法更常用。迭代法中又以超松弛迭代法最常用，以下给出超松弛迭代方法的公式。对于二维场泊松方程等距剖分差分格式公式为式中α称为加速收敛因子或超松弛因子，它的数值决定超松弛程度，影响迭代解收敛的速度。α取值范围是1≤α2（2.68）加速收敛因子α取值因问题而异，对于第一类边值问题，若一方形场域由正方形网格划分，每边的节点数为（n+1），则加速收敛因子α可按下式计算：（2.67）（2.69）nm221122若一矩形场域由边长为h的正方形网格划分为mh和nh，且m和n都很大（一般都要大于15），那么加速收敛因子为（2.70）一般情况下，的最佳值只能是凭经验选取。对于其他形状的场域，也可用等效矩形面积的处理方法，即得出等效矩形面积后，再用式（2.70）求出最佳的。下面我们来看一个计算电位分布的实例。二、处理过程实例：有一长接地金属槽，横截面积如图2.15所示，其侧壁与底面电位均为零，顶盖电位为100V，求槽内电位分布。分析：对于此槽中间区段电位分布，可理想化为二维问题。选定直角坐标系，槽内电位函数满足拉普拉斯方程，构成一类边值问题。02222yxVayax1006.0,0Vayaxyaxayx06.00,0,06.00,0按有限差分法计算步骤，解题过程如下。⑴选取计算区域，进行离散化处理。取槽内全部区域（或根据对称性取一半区域）进行计算。取正方形网格离散，步长h=0.1a，取x方向节点数为11，y方向节点数为7，每个节点坐标用双下标（i,j）表示。⑵给出采用超松弛迭代法的差分方程形式，即jinjinjinjinjinjinjin,41,1,111,,14,,1场域为矩形，网格数m=10，n=6，按式（2.69）计算得到α=1.14。⑶给出边界条件，本题为第一类边值条件，边界条件利用直接赋值方式，即01,11~17~1,117~1,11007,10~2⑷内部节点赋初值。由分析可知，场内各处电位值必然介于Φ2和Φ1之间。为加快迭代解收敛速度，采用等差递增方式，即16100112,jjnji⑸给出检查迭代解收敛的条件，即各节点相邻两次迭代值相对误差。⑹画出计算流程图如图2.16所示。⑺编写计算程序。采用FORTRAN语言编写的计算程序如下。①变量与数组说明U（I，J）——网格节点的电位值；I，J——网格节点的坐标；N——迭代次数；G——不满足指定误差条件的离散点数；Unji,A——第n次迭代时网格节点电位值；B——第（n+1）次迭代时网格节点电位；Unji1,C——引入加速收敛因子后的网格节点电位；Unji1,；W——相邻二次迭代值的相对误差值。②源程序DIMENSIONU(11,7)DATAU/77*0DO5I=2,10U(I,7)=1005CONTINUEDO10I=2,10DO15J=2,6U(I,J)=100/6*(J-1)15CONTINUE10CONTINUEWRITE(*,11)WRITE(*,22)（（U(II,KK),KK=1,11）,II=1,7）N=050G=ON=N+1DO20I=2,10DO25J=2,6A=U（I,J）B=0.25*(U(I+1，J)+U(I,J+1)+U(I-1，J)+U(I,J-1)C=A+10456*(B-A)W=ABS（（C-A）/C）IF(W.LT.1E-3)GOTO100G=G+1U（I,J）=CCONTINUECONTINUEIF(G.GT.0.)GOTO50WRITE(*,*),N=1，NWRITE(*,*),ALPH=1,1.456WRITE(*,33)WRITE(*,22)((U(II,KK),KK=1,11),II=1,7)FORMAT(QHO,15X,28HINTIALVALUEOFCALCULATION)FORMAT(1X,11F7.2)FORMAT(1HO,20X,21HRESULTOFCALCULATION)STOPEND1002520332211③计算结果输出INITIALVALUEOFCALCULATION.00100.00100.00100.00100.00100.00100.00100.00100.00100.00.00.0083.3383.3383.3383.3383.3383.3383.3383.3383.33.00.0066.6766.6766.6766.6766.6766.6766.6766.6766.67.00.0050.0050.0050.0050.0050.0050.0050.0050.0050.00.00.0033.3333.3333.3333.3333.3333.3333.3333.3333.33.00.0016.6716.6716.6716.6716.6716.6716.6716.6716.67.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00N=15ALPH=104560000RESULTOFCALCULATION.00100.00100.00100.00100.00100.00100.00100.00100.00100.00.00.0048.3366.4273.9977.1978.0977.1913.9966.4348.34.00.0026.9243.3752.3356.6957.9956.6952.3343.3826.93.00.0015.9927.8235.2739.2540.4939.2535.2727.8215.99.00.009.2216.6321.6924.5425.4624.5421.6916.639.22.00.004.257.8010.3211.7812.2511.7810.327.804.26.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00Stop—progamterminated.三、分析，总结值得注意的是，加速收敛因子α的取值，α的数值决定超松弛程度，影响跌代解收敛的速度，加速收敛因子α的取值因问题而异，一般情况下，α的最佳值只能凭经验选取，对于其他形状的场域，也可用等效矩形的面积的处理方法，即得出等效矩形面积后再用式求出最佳的α。nm221122在解此物理问题时，把它理想化为二维问题，槽内电位函数ф满足拉普拉斯方程，构成了一类边值问题，采用超松弛迭代法的差分方程形式，用Fortran语言实现N此迭代。并可以求出第n此和（n+1）次迭代时网络节点的电位值，然后，引出加速收敛因子后的网络节点电位.Fortran。程序最后还计算了相邻二次迭代值的相对误差值。Fortran语言的应用，让复杂，难处理得问题得以解决，使复杂物理问题简单化，利用计算机把物理问题化繁为简并得以实现是计算物理学的目的和重要作用。随计算机的发展和应用，计算物理学必定会作为一个很重要的工具来处理更多的物理问题。