简单的三角恒等变换一课一练2

3.2简单的三角恒等变换一、选择题：1．已知cos（α+β）cos（α－β）=31，则cos2α－sin2β的值为（）A．－32B．－31C．31D．322．在△ABC中，若sinAsinB=cos22C，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形3．sinα+sinβ=33（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（）A．－3π2B．－3πC．3πD．3π24．已知sin（α+β）sin（β－α）=m，则cos2α－cos2β等于（）A．－mB．mC．－4mD．4m二、填空题5．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．6．已知α－β=3π2，且cosα+cosβ=31，则cos（α+β）等于_________．三、解答题7．求证：4cos（60°－α）cosαcos（60°+α）=cos3α．8．求值：tan9°+cot117°－tan243°－cot351°．9．已知tan262，tanαtanβ=713，求cos（α－β）的值．10．已知sinα+sinβ=2，cosα+cosβ=32，求tan（α+β）的值．11．已知f（x）=－21+2sin225sinxx，x∈（0，π）．（1）将f（x）表示成cosx的多项式；（2）求f（x）的最小值．12．已知△ABC的三个内角A、B、C满足：A+C=2B，BCAcos2cos1cos1，求cos2CA的值．13．已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b，求证：（2cos2A+1）2=a2+b2．14．求证：cos2x+cos2（x+α）－2cosxcosαcos（x+α）=sin2α．15．求函数y=cos3x·cosx的最值．参考答案一、选择题1．C2．B3．D4．B二、填空题5．416．－97三、解答题7．证明：左边=2cosα［cos120°+cos（－2α）］=2cosα（－21+cos2α）=－cosα+2cosα·cos2α=－cosα+cos3α+cosα=cos3α=右边．8．解：tan9°+cot117°－tan243°－cot351°=tan9°－tan27°－cot27°+cot9°=)27sin27cos27cos27sin(9sin9cos9cos9sin=27cos27sin27cos27sin9cos9sin9cos9sin2222=36cos18sin)18sin54(sin254sin218sin2=4．9．解：∵tanαtanβ=713)cos()cos()cos()cos(coscossinsin，∴cos（α－β）=－310cos（α+β）．又tan26，∴cos（α+β）=51)26(1)26(1tan1tan12222，从而cos（α－β）=－310×（－51）=32．10．解：322coscossinsin，由和差化积公式得coscos2cossin2=3，∴tan=3，从而tan（α+β）=433132tantan222．11．解：（1）f（x）=2cos23cos22sin2sin23cos22sin22sin25sinxxxxxxxx=cos2x+cosx=2cos2x+cosx－1．（2）∵f（x）=2（cosx+41）2－89，且－1≤cosx≤1，∴当cosx=－41时，f（x）取得最小值－89．12．分析：本小题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．解：由题设条件知B=60°，A+C=120°，∵－60cos2=－22，∴CAcos1cos1=－22．将上式化简为cosA+cosC=－22cosAcosC，利用和差化积及积化和差公式，上式可化为2cos2CAcos2CA=－2［cos（A+C）+cos（A－C）］，将cos2CA=cos60°=21，cos（A+C）=cos120°=－21代入上式得cos2CA=22－2cos（A－C），将cos（A－C）=2cos2（2CA）－1代入上式并整理得42cos2（2CA）+2cos2CA－32=0，即［2cos2CA－2］［22cos2CA+3］=0．∵22cos2CA+3≠0，∴2cos2CA－2=0．∴cos2CA=22．13．证明：由已知得，，bAAAaAAA3cos2cos3cos23sin2cos3sin2∴.)12cos2(3cos)12cos2(3sinbAAaAA，两式平方相加得（2cos2A+1）2=a2+b2．14．证明：左边=21（1+cos2x）+21［1+cos（2x+2α）］－2cosxcosαcos（x+α）=1+21［cos2x+cos（2x+2α）］－2cosxcosαcos（x+α）=1+cos（2x+α）cosα－cosα［cos（2x+α）+cosα］=1+cos（2x+α）cosα－cosαcos（2x+α）－cos2α=1－cos2α=sin2α=右边，∴原不等式成立．15．解：y=cos3x·cosx=21（cos4x+cos2x）=21（2cos22x－1+cos2x）=cos22x+21cos2x－21=（cos2x+41）2－169．∵cos2x∈［－1，1］，∴当cos2x=－41时，y取得最小值－169；当cos2x=1时，y取得最大值1．