任意的三角函数一课一练2

1.2任意的三角函数一、选择题1．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边()A．在x轴上B．在y轴上C．在直线y＝x上D．在直线y＝－x上2．如果4π＜θ＜2π，那么下列各式中正确的是()A．cosθ＜tanθ＜sinθB．sinθ＜cosθ＜tanθC．tanθ＜sinθ＜cosθD．cosθ＜sinθ＜tanθ3．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则P（cosB－sinA，sinB－cosA）在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．若sinαtanα＞0，则α的终边在()A．第一象限B．第四象限C．第二或第三象限D．第一或第四象限5．若角α的终边与直线y=3x重合且sinα＜0，又P（m，n）是角α终边上一点，且|OP|=10，则m－n等于()A．2B．－2C．4D．－4二、填空题6．若0≤θ＜2π，则使tanθ≤1成立的角θ的取值范围是_________．7．在（0，2π）内使sinx＞|cosx|的x的取值范围是_________．三、解答题8．比较下列各组数的大小：（1）sin1和sin3π；（2）cos7π4和cos7π5；（3）tan8π9和tan7π9；（4）sin5π和tan5π．9．已知α是第三象限角，试判断sin（cosα）·cos（sinα）的符号．10．求下列函数的定义域：（1）y=)lg(cosx；（2）y=lgsin2x+29x．11．当α∈（0，2π）时，求证：sinα＜α＜tanα．12．已知θ为正锐角，求证：（1）sinθ＋cosθ＜2π；（2）sin3θ+cos3θ＜1．13．已知角α的终边经过点P（－3cosθ，4cosθ），其中θ∈（2kπ+2π，2kπ+π）（k∈Z），求角α的各三角函数值．14．（1）已知角α的终边经过点P（3，4），求角α的六个三角函数值；（2）已知角α的终边经过点P（3t，4t），t≠0，求角α的六个三角函数值．15．已知角α终边上的一点P，P与x轴的距离和它与y轴的距离之比为3：4，且0sin求：cosα和tanα的值．参考答案一、选择题1．B2．D3．D4．D5．A二、填空题6．［0，4π］∪（2π，4π］∪（2π3，2π）7．（4π，4π3）三、解答题8．分析：三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线．解：（1）sin1＜sin3π；（2）cos7π4cos7π5；（3）tan8π9tan7π9；（4）sin5πtan5π．9．分析：若α是第三象限的角，则有①cosα＜0，且－1＜cosα＜0；②sinα＜0，且－1＜sinα0．在此基础上可确定sin（cosα）与cos（sinα）的符号，进而即可确定sin（cosα）·cos（sinα）的符号．解：∵α是第三象限角，∴－1cosα0，－1sinα0．∴sin（cosα）0，cos（sinα）0．∴sin（cosα）·cos（sinα）0．10．解：（1）由lg（cosx）≥0，得cosx≥1，又cosx≤1，∴cosx=1．∴x=2kπ，k∈Z．故此函数的定义域为{x|x=2kπ，k∈Z}．（2）∵sin2x0，∴2kπ2x2kπ+π（k∈Z）．∴kπxkπ+2π（k∈Z）．①又9－x2≥0，∴－3≤x≤3．故y=lgsin2x+29x的定义域为{x|－3≤x－2π或0x2π}．11．分析：利用代数方法很难得证．若利用三角函数线借助几何直观建立面积不等式，则可迎刃而解．解：如下图，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于点P，α的正弦线、正切线为MP、AT，则MP=sinα，AT=tanα．OyxPTMA∵S△AOP=21OA·MP=21sinα，S扇形AOP=21α·r2=21α，S△OAT=21OA·AT=21AT=21tanα．又S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，∴21sinα＜21α＜21tanα，即sinα＜α＜tanα．12．证明：（1）设角θ的终边与单位圆交于P（x，y），过点P作PM⊥Ox，PN⊥Oy，M、N为垂足．∵y＝sinθ，x＝cosθ，OyxPMA()x,yBNS△OAP＝21|OA|·|PM|＝21y＝21sinθ，S△OPB＝21|OB|·|NP|＝21x＝21cosθ，S扇形OAB＝4π4π2R．又四边形OAPB被扇形OAB所覆盖，∴S△OAP＋S△OPB＜S扇形OAB，即4π2cos2sin．∴sinθ＋cosθ＜2π．（2）∵0＜x＜1，0＜y＜1，∴0＜cosθ＜1，0＜sinθ＜1．∵函数y=ax（0＜a＜1）在R上是减函数，∴cos3θ＜cos2θ，sin3θ＜sin2θ．∴cos3θ+sin3θ＜cos2θ+sin2θ．∵sin2θ+cos2θ=x2+y2=1，∴sin3θ+cos3θ＜1．13．解：∵θ∈（2kπ+2π，2kπ+π）（k∈Z），∴cosθ＜0．∴x=－3cosθ，y=4cosθ，r=22yx=22)cos4()cos3(=－5cosθ．∴sinα=－54，cosα=53，tanα=－34，cotα=－43，secα=35，cscα=－45．14．解：（1）由x=3，y=4，得r=2243=5．∴sinα=ry=54，cosα=rx=53，tanα=xy=34，cotα=yx=43，secα=xr=35，cscα=yr=45．（2）由x=3t，y=4t，得r=22)4()3(tt=5|t|．当t＞0时，r=5t．因此sinα=54，cosα=53，tanα=34，cotα=43，secα=35，cscα=45；当t＜0时，r=－5t．因此sinα=－54，cosα=－53，tanα=34，cotα=43，secα=－35，cscα=－45．15．设P(x，y)，则依题意知|y|：|x|=3：4∵sinα0∴α终边只可能在第三、四象限或y轴负半轴上若P点位于第三象限，可设P（-4k，-3k），（k0）∴r=5k，从而54cos，43tan若P点位于第四象限，可设P（4k，-3k），（k0）∴r=5k，从而54cos，43tan又由于|y|：|x|=3：4，故α的终边不可能在y轴的负半轴上综上所述：知cosα的值为5454或，tanα的值为4343或