抽样方法、正态分布复习指导

抽样方法、正态分布复习指导重点、难点讲解：1．抽样的三种方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。后两种方法是建立在第一种方法基础上的。三种方法的异同比较见课本P22表。2．了解如何用样本估计总体:用样本估计总体的主要方法是用样本的频率分布来估计总体分布，主要有总体中的个体取不同数值很少和较多甚至无限两种情况。3．正态曲线及其性质：正态分布常记作N()，其正态分布函数：f(x)=,x∈(-∞,+∞)。把N(0,1)称为标准正态分布，相应的函数表达式：f(x)=,x∈(-∞,+∞)。正态图象的性质：①曲线在x轴的上方，与x轴不相交。②曲线关于直线x=μ对称。③曲线在x=μ时位于最高点。④当xμ时，曲线上升；当xμ时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。4．一般正态分布与标准正态分布的转化对于标准正态分布，用表示总体取值小于x0的概率，即=p(xx0)，其几何意义是由正态曲线N(0,1)，x轴，直线x=x0所围成的面积。又根据N(0,1)曲线关于y轴的对称性知，，并且标准正态总体在任一区间(a,b)内取值概率。任一正态总体N()，其取值小于x的概率F(x)=。知识应用举例：例2．为了了解某大学一年级新生英语学习的情况，从503名大学一年级学生中抽取50名作为样本，如何采用系统抽样方法完成这一抽样？思路分析：因为总体的个数503，样本的容量50，不能整除，故可采用随机抽样的方法从总体中剔除3个个体，使剩下的个体数500能被样本容量50整除，再用系统抽样方法。解：第一步：将503名学生随机编号1，2，3，……，503第二步：用抽签法或随机数表法，剔除3个个体，剩下500名学生，然后对这500名学生重新编号。第三步：确定分段间隔k==10,将总体分成50个部分，每部分包括10个个体，第一部分的个体编号为1，2，……，10；第二部分的个体编号11，12，……，20；依此类推，第50部分的个体编号491，492，……，500。第四步：在第一部分用简单随机抽样确定起始的个体编号，例如是7。第五步：依次在第二部分，第三部分，……，第五十部分，取出号码为17，27，……，497，这样就得到了一个容量为50的样本。例4．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100h～400h以内的概率；（4）估计电子元件寿命在400h以上的概率；（5）估计总体的数学期望。思路分析：由于样本的取得具有代表性，因此，可以利用样本的期望近似地估计总体的期望。解：（1）样本频率分布表如下：（2）频率分布直方图如下：（3）从频率分布表可知，寿命在100h～400h的元件出现的概率为0.65；（4）由频率分布表可知，寿命在400h以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0.35。（5）样本的期望为：所以，我们估计生产的电子元件寿命的总体期望值（总体均值）为365h。例5．正态总体为μ=0,σ=1时的概率密度函数是f(x)=,x∈(-∞,+∞),（1）证明f(x)是偶函数；（2）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。证明：（1）任意的x∈R，f(-x)=,∴f(x)是偶函数。（2）任取x1x20，则，∴，∴，即f(x1)f(x2)。这说明f(x)在(-∞,0)上是递增函数，同理可证f(x)在(0,+∞)上是递减函数。例6．随机变量ξ服从N(0,1)，求下列值。（1）P(ξ≥2.55)（2）P(ξ-1.44)（3）P(|ξ|1.52)思路分析：标准正态分布，可以借助标准正态分布表。用到的公式主要有：Φ(-x)=1-Φ(x)；P(axb)=Φ(b)-Φ(a)；p(x≥x0)=1-p(xx0)。解：（1）P(ξ≥2.55)=1-p(ξ2.55)=1-Φ(2.55)=1-0.9946=0.0054。（2）P(ξ-1.44)=Φ(-1.44)=1-Φ(1.44)=1-0.9251=0.0749。（3）P(|ξ|1.52)=p(-1.52ξ1.52)=Φ(1.52)-Φ(-1.52)=2Φ(1.52)-1=2×0.9357-1=0.8714。例7．设,且总体密度曲线的函数表达式为：f(x),x∈(-∞,+∞)。（1）求μ，σ；（2）求p(|x-1|)及p(1-x1+)。思路分析：对照正态曲线函数，可以得出μ，σ；利用一般正态总体N()与标准正态总体N(0,1)概率间的转化关系，可以求出（2）。解：（1）整理得：f(x)=，所以，μ=1,σ，故。（2）p(|x-1|)=p(1-x1+)=F(1+)-F(1-)=Φ()-Φ()=Φ(1)-Φ(-1)=2Φ(1)-1=2×0.8413-1=0.6826。p(1-x1+2)=F(1+2)-F(1-)=Φ()-Φ()=Φ(2)-Φ(-1)=Φ(2)+Φ(1)-1=0.9772+0.8413-1=0.8185。例8．某城市从南郊某地乘车前往北区火车站有两条路可走，第一条线路穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N(50,100),第二条线路沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N(60,16)，（1）若只有70分钟时间可用，应走哪条路？（2）若只有65分钟时间可用，应走哪条路？思路分析：所谓最佳线路（应选择的线路）就是在允许的时间内有较大概率赶到火车站的那条线路。解：设x为行车时间。（1）走第一条路及时赶到的概率为：P(0x≤70)=≈=Φ(2)=0.9772。走第二条线路及时赶到的概率为：P(0x≤70)=Φ()=Φ(2.5)=0.9938。因此应走第二条线路。（2）走第一条线路及时赶到的概率为：P(0x≤65)≈Φ()=Φ(1.5)=0.9332。走第二条线路及时赶到的概率为：P(0x≤65)≈Φ()=Φ(1.25)=0.8944。因此应走第一条线路。