第一学期高三数学期中试卷

第一学期高三数学期中试卷第I卷（选择题，共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若fxaaax()()01，的定义域为M，gxxaaa()log()01，的定义域为N，令全集IR，则MN（）A.MB.NC.MD.N2.已知数列{}an中，aaannn1112123，，，，……()，则这个数列前n项和的极限是（）A.2B.12C.3D.133.已知函数fxx()31，则它的反函数yfx1()的图像是（）yy012x01312xAByy012x01312xCD4.如图，圆柱的高为8，点A和点B分别在上下底面的圆周上，且AB10，则直线AB与圆柱的轴OO'所成角的大小为（）A.arctg43B.arctg34C.arctg45D.arctg35OAO＇B5.函数yx234sin()图像的两条相邻对称轴之间的距离是（）A.3B.23C.D.436.（理科作）过点P()14，且平行于极轴的直线的极坐标方程是（）A.sin22B.sin1C.sinD.22sin7.（文科作）点()23，关于直线yx1对称的点的坐标是（）A.()21，B.()30，C.()31，D.()20，8.圆台的侧面展开图是一个内外半径分别为3和6，中心角为43的扇环，则此圆台的全面积是（）A.36B.38C.48D.549.定义在()，上的函数yfx()在()，2上是增函数，且函数yfx()2图像的对称轴是x0，则（）A.ff()()13B.ff()()03C.ff()()13D.ff()()2310.若圆()()xyR11222上有且仅有两个点到直线4311xy的距离等于1，则半径R的取值范围是（）A.R1B.R3C.13RD.R211.某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元。某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花（）A.3360元B.6720元C.4320元D.8640元12.图中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD的点A作截面AB1C1D1而截得的，且B1B=D1D。已知截面AB1C1D1与底面ABCD成30的二面角，AB1，则这个多面体的体积为（）A.62B.63C.64D.66C1D1DCB1AB13.已知双曲线xaybab22100()，的离心率e[]22，，令双曲线两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角为，则的取值范围是（）A.[]62，B.[]32，C.[]223，D.[]23，第II卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。14.若()xxn2展开式中的第5项为常数，则n。15.抛物线xy2152()的准线方程是。16.已知tgtg()()35313，，则tg()3是值是。17.已知如图，正方体ABCD—A1B1C1D1，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等，试写出满足这样条件的一个截面。（注：只需任意写出一个。）D1C1A1B1DCAB三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.（理科作）（本小题满分12分）已知aafxxgxxaa0112，，，()log()()log，求使fxgxa()()log2成立的自变量x的取值范围。19.（文科作）（本小题满发12分）解关于x的不等式：log()loglog()aaaxxaa12012，20.（本小题满分12分）已知：复数zizizzi12124535cossincossin，，，求：tg()的值。21.（本小题满分12分）已知：如图，PD平面ABCD，ADDC，ADBCPDDCBC//::::，112。（I）求PB与平面PDC所成角的大小；（II）求二面角D—PB—C的正切值；（III）（理科作）若ADBC12，求证平面PAB平面PBC。（IV）（文科作）若ADBC12，E为PC中点，求证DE//平面PAB。PEADCB22.（理科作）（本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点分别为F1022()，，F2022()，，离心率e223。（I）求椭圆方程；（II）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN中点的横坐标为12，求直线l倾斜角的取值范围。23.（文科作）（本小题满分12分）把椭圆()()xy112122绕它的中心旋转90后，再沿x轴方向平行移动，使变换后的椭圆截直线yx22所得的线段长为3，试写出变换后的椭圆方程。24.（本小题满分12分）用洗衣机洗衣时，洗涤并甩干后进入漂洗阶段。漂洗阶段由多次漂洗和甩干组成，每次漂洗后可使残留物均匀分布，每次甩干后（包括洗涤后的甩干）衣物中的残留水份（含有残留物）的重量相同，设计时，将漂洗的总用水量定为a千克，漂洗并甩干的次数定为3次。为使漂洗后衣物中的残留物最少，怎样确定每次漂洗的用水量？并写出你的数学依据。[注：为了便于解决问题，可参考以下各量的字母表示。设每次甩干后衣物中的残留水份（含有残留物）的重量为m，洗涤并甩干后衣物中的残留物（不含水份）为n0，三次漂洗并甩干后衣物中的残留物（不含水份）分别为nnn123、、，三次用水量分别为aaa123、、。（以上各量单位皆为千克）]25.（理科作）（本小题满分14分）数列{}an中，前n项和Sanbnn2其中ab，是常数，且aabnN01，，。（I）求{}an的通项公式an，并证明aanNnn11()；（2）令cananlog1，试判断数列{}cn中任意相邻两项的大小。26.（文科作）（本小题满分14分）已知数列{}an是等差数列，a11，前n项和为Sn；数列{}bn是等比数列，前n项和为Tn，若abSTnTn42622188，，lim。（I）求{}an和{}bn的通项公式；（II）判断是否存在最小的自然数n0，使得大于n0的一切自然数n，总有nbannn321成立，并给出你的证明。『答案』一.1.B2.A3.D4.B5.A6.A7.A8.B9.A10.C11.D12.D13.C二.14.1215.x41816.2917.截面AB1D1，或截面ACD1，或截面AB1C。（注：未写截面二字不扣分）三.18.解：log()loglogaaaxx122log()logloglog()log()aaaaaxxxx1212222…………………………………………分当01a时xxxxxxxxx1001211211121722或或………………………………………………分当a1时xxxxxxxx1001201211200122或综上：当01a时，不等式的解为1121xx或当a1时，不等式的解为12001xx或…………………12分19.解：log()loglogaaaxx122log()log()aaxx122………………………………………………2分当01a时xxxxxxxxx1001211211121722或或……………………………………………分当a1时xxxxxxxx1001201211200122或综上：当01a时，不等式的解为1121xx或当a1时，不等式的解为12001xx或…………………12分20.解：由已知(cossin)(cossin)iii4535即(coscos)(sinsin)ii4535coscos()sinsin()4513524……………………分由(1)得222456coscos………………………分由(2)得22235sincos…………………………8分两式相除，得tg234……………………………………10分tgtgtg()()221223413424722………………12分评分标准说明：由复数相等的充要条件转化为两个三角等式各2分。两次和差化积各2分。求出tg234占2分。用正切倍角公式计算正确占2分。两个复数的三角形式写对可各给1分。21.（I）解：由PD平面ABCD，BC平面ABCD，得PDBC。由ADDCADBC，//，得BCDC。又PDDCD，则BC平面PDC……………………2分所以BPC为直线PB与平面PDC所成的角令PD1，则DC1，BC2，可求出PC2。………………3分由BC平面PDC，PC平面PDC，得BCPC。在RtPBC中，由PCBC得BPC45即直线PB与平面PDC所成的角为45……………………………………4分（II）解法（一）：取PC中点E，连DE，则DEPC。由BC平面PDC，BC平面PBC得平面PDC平面PBC。则DE平面PBC。…………………………………………………………5分作EFPB于F，连DF由三垂线定理，得DFPB则DFE为二面角D—PB—C的平面角…………………………………7分在RtPDC中，求得DE22在RtPFE中，求得EF12在RtDEF中，tgDFEDEEF2即二面角D—PB—C大小的正切值为2………………………………8分PFEDCAB解法（二）：由PD平面ABCD，PD平面PDB得平面PDB平面ABCD作CHBD于H则CH平面PDB…………………………………………………………5分作HFPB于F，连CF由三垂线定理得CFPB则CFH为二面角D—PB—C的平面角………………………………7分在等腰RtPBC中，求出斜边上的中线CF1在RtDBC中，求出DB123，可进一步求出斜边上的高CH23在RtFHC中，求出HF13tgHFCHCHF2即二面角D—PB—C大小的正切值是2…………………………………8分PFDCHAB（III）证：取PB中点G，连AG和EG由三角形中位线定理得GEBCGEBC//，12由已知，AD//BC，ADBC12则四边形AGED为平行四边形AGDE//………………………………………………………………10分由（II）的解法（一），已证出DE平面PBCAG平面PBC又AG平面PAB平面PAB平面PBC…………………………………………………12分PEGDCAB（IV）证：取PB中点G，连AG和EG由三角形中位线定理得GEBCGEBC//，12由已知，AD//BC，ADBC12ADGEADGE，//则四边形AGED为平行四边形AGDE//………………………………………………………………10分又AG平面PAB，DE平面PABDE//平面PAB……………………………………………………12分22.解：（I）设椭圆方程为yaxb22221由已知，c22由e223解得a3byx19122，为所求………………………………………3分（II）设直线l的方程为ykxbk()0解方程组ykxbyx()()191222将(1)代入(2)并化简，得()kxkbxb2229290……………4分