高中数学圆与方程精选题目(附答案)

高中数学圆与方程精选题目（附答案）1．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为()A．(－3,4,5)B．(－3，－4,5)C．(3，－4，－5)D．(－3,4，－5)解析：选A纵、竖坐标相同．故点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为(－3,4,5)．2．已知圆O以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是()A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．无法判断解析：选B点M(5，－7)到圆心(2，－3)的距离d＝5－22＋－7＋32＝5，故点M在圆O上．3．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于()A.2B．2C．22D．4解析：选B由题意，得圆心为(－1,0)，半径r＝3，弦心距d＝|－1＋0－1|12＋12＝2，所以所求的弦长为2r2－d2＝2，选B.4．若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为()A．2x＋y－3＝0B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0D．2x－y－1＝0解析：选D由题意，知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心为A(3,0)．因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN.又AP的斜率k＝1－01－3＝－12，所以直线MN的斜率为2，所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.5．已知圆M：x2＋y2＝2与圆N：(x－1)2＋(y－2)2＝3，那么两圆的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．外离解析：选B∵圆M：x2＋y2＝2的圆心为M(0,0)，半径为r1＝2；圆N：(x－1)2＋(y－2)2＝3的圆心为N(1,2)，半径为r2＝3；|MN|＝12＋22＝5，且3－2＜5＜2＋3，∴两圆的位置关系是相交．6．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B．－34C.3D．2解析：选A因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝|a＋4－1|a2＋1＝1，解得a＝－43.7．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝36解析：选D∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6.再由a2＋32＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.8．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为()A.2x＋y－5＝0B.2x＋y＋5＝0C．2x＋y－5＝0D．2x＋y＋5＝0解析：选C∵M(2,1)在圆上，∴切线与MO垂直．∵kMO＝12，∴切线斜率为－2.又过点M(2,1)，∴y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.9．把圆x2＋y2＋2x－4y－a2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x－4y－4＝0相切，则实数a的值为()A．－3B．3C．－3或3D．以上都不对解析：选C圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝a2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|－32＋42＝a2＋7－1，解得a＝±3.10.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为()A．14米B．15米C.51米D．251米解析：选D如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，设圆的半径长为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A′，B′，可设A′(x0，－3)(x00)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝51，∴水面宽度|A′B′|＝251米．11．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0解析：选A设点P(3,1)，圆心C(1,0)．已知切点分别为A，B，则P，A，C，B四点共圆，且PC为圆的直径．故四边形PACB的外接圆圆心坐标为2，12，半径长为123－12＋1－02＝52.故此圆的方程为(x－2)2＋y－122＝54.①圆C的方程为(x－1)2＋y2＝1.②①－②得2x＋y－3＝0，此即为直线AB的方程．12．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为()A．1B.2C．2D．22解析：选A由题意，得圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r＝2.因为直线l经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率为－1，方程为y－0＝－(x－1)，即为x＋y－1＝0.又圆心(0，－1)到直线l的距离d＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB|＝2r2－d2＝24－2＝22.又坐标原点O到弦AB的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB的面积为12×22×12＝1.故选A.13．已知圆M与直线x－y＝0及x－y＋4＝0都相切，圆心在直线y＝－x＋2上，则圆M的标准方程为____________________．解析：由圆心在y＝－x＋2上，设圆心为(a,2－a)，∵圆M与直线x－y＝0及x－y＋4＝0都相切，∴圆心到直线x－y＝0的距离等于圆心到直线x－y＋4＝0的距离，即|2a－2|2＝|2a＋2|2，解得a＝0，∴圆心坐标为(0,2)，r＝|2a－2|2＝2，∴圆M的标准方程为x2＋(y－2)2＝2.答案：x2＋(y－2)2＝214．已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为______________．解析：设B点的坐标为(x，y，z)，则有x＋32＝4，y＋22＝3，z＋12＝1，解得x＝5，y＝4，z＝1，故B点的坐标为(5,4,1)．答案：(5,4,1)15．圆O：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线l：3x＋4y＋8＝0的距离的最大值是________．解析：∵圆O的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心(1,1)到直线l的距离为|3×1＋4×1＋8|32＋42＝31，∴动点Q到直线l的距离的最大值为3＋1＝4.答案：416．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________．解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝a2＋2，因为|AB|＝23，点C到直线y＝x＋2a，即x－y＋2a＝0的距离d＝|0－a＋2a|2＝|a|2，由勾股定理得2322＋|a|22＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.答案：4π17．(本小题满分10分)已知正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，G是PD的中点，求|BG|.解：∵正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB，BC所在的直线分别为y轴、x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B，D，P的坐标分别为B(2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,1)．∴G点的坐标为G－1，－1，12∴|BG|＝32＋32＋14＝732.18．(本小题满分12分)已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．解：设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.19．(本小题满分12分)已知从圆外一点P(4,6)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B.(1)求以OP为直径的圆的方程；(2)求直线AB的方程．解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP的中点(2,3)，半径为12|OP|＝124－02＋6－02＝13，∴以OP为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.(2)∵PA，PB是圆O：x2＋y2＝1的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴A，B两点都在以OP为直径的圆上．由x2＋y2＝1，x－22＋y－32＝13，得直线AB的方程为4x＋6y－1＝0.20．(本小题满分12分)已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．(1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即以线段AB的中点(0,1)为圆心，r＝12|AB|＝10为半径．则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.(2)法一：直线AB的斜率k＝4－－2－1－1＝－3，则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝13x即x－3y＋3＝0.由x－3y＋3＝0，2x－y－4＝0，解得x＝3，y＝2，即圆心的坐标是C(3,2)．∴r2＝|AC|2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.∴所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2.则1－a2＋－2－b2＝R2，－1－a2＋4－b2＝R2，2a－b－4＝0⇒a＝3，b＝2，R2＝20.∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.21．(本小题满分12分)已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．解：(1)证明：圆的方程可整理为(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，此方程表示过圆x2＋y2－20＝0和直线－4x＋2y＋20＝0交点的圆系．由x2＋y2－20＝0，－4x＋2y＋20＝0得x＝4，y＝－2.∴已知圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2.①当两圆外切时，d＝r1＋r2，即2＋5a－22＝5a2，解得a＝1＋55或a＝1－55(舍去)；②当两圆内切时，d＝|r1－r2|，即|5a－22－2|＝5a2，解得a＝1－55或a＝1＋55(舍去)．综上所述，a＝1±55.22．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.又C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为－1x1·－1x2＝－12，所以不能出现AC⊥BC的情况．(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为x22，12，可得BC的中垂线方程为y－12＝x2x－x22.由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－m2.联立x＝