考研极限试题(卷)

“考研数学”——做到更好，追求最好南工程考研数学辅导材料之一高等数学主编：杨降龙杨帆刘建新翁连贵吴业军序近几年来，随着高等教育的大众化、普及化，相当多的大学本科毕业生由于就业的压力，要想找到自己理想的工作比较困难，这从客观上促使越来越多的大学毕业生选择考研继续深造，希望能学到专业的知识，取得更高的学历，以增强自己的竞争能力；同时还有相当多的往届大学毕业生由于种种的原因希望通过读研来更好地实现自我。这些年的统计数据表明：应届与往届的考生基本各占一半。自1989年起，研究生入学数学考试实行全国统一命题，其命题的范围与内容严格按照国家考试中心制定的“数学考试大纲”，该考试大纲除了在1996年实施了一次重大的修补以外，从1997年起一直沿用至今，但期间也进行了几次小规模的增补。因此要求考生能及时了解掌握当年数学考试大纲的变化，并能按大纲指明的“了解”，“理解”，“掌握”的不同考试要求系统有重点的复习。通常研究生入学数学考试与在校大学生的期末考试相比，考试的深度与难度都将大大的增加，命题者往往将考试成绩的期望值设定在80（按总分150分）左右命题，试题涉及的范围大，基础性强，除了需要掌握基本的计算能力、运算技巧外，还需掌握一些综合分析技能（包括各学科之间的综合）。这使得研究生数学入学考试的竞争力强，淘汰率很高。为了我院学生的考研需要，我们编写了这本辅导讲义。该讲义共分三个部分，编写时严格按照考试大纲，含盖面广、量大，在突出重点的同时，注重于基本概念的理解及基本运算能力的培养，力求给同学们做出有效的指导。第一章函数极限与连续考试内容函数的概念及其表示，函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性，复合函数、反函数、分段函数、隐函数，基本初等函数的图形与性质，初等函数的建立，数列极限与函数极限的性质，函数的左右极限，无穷小与无穷大的关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限，函数连续的概念，函数间断点的类型，闭区间上连续函数的性质。考试要求1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题中的函数关系。2、了解函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性的概念，注意这些问题与其它概念的结合应用。3、理解复合函数、分段函数的概念，了解隐函数、反函数的概念。4、掌握基本初等函数的性质及其图形。5、理解极限、左右极限的概念，以及极限存在与左右极限的关系。6、掌握极限的性质与四则运算。7、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、理解无穷小、无穷大的概念；掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小计算极限。9、掌握利用罗必达法则求不定式极限的方法。10、理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。11、理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最值存在、介值定理），并会利用这些性质。§1函数一、函数的概念二、函数的性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性；三、函数的运算（重要考点）：四则运算、复合运算（复合函数）、逆运算（反函数）；四、函数的分类：初等函数、非初等函数。例题1、（88）已知2(),[()]1xfxefxx，且()0x，求()x及定义域。2、（92）已知2()sin,[()]1fxxfxx，求()x定义域。3、设21()(11),0fxxxx，求()fx。4、2211(sin)sin3sinsinfxxxx，求()fx。5、（97）22,0,0(),()2,0,0xxxxgxfxxxxx,求[()]gfx。6、设1,0()1,0xxfxx，求[()]ffx。7、（90）1,1()0,1xfxx，求[()]ffx。8、求2221001xxyxx的反函数。9、（96）设函数2312,1(),121216,2xxfxxxxx，（1）写出()fx的反函数()gx的表达式；（2）()gx是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点。10、设()fx满足：1()(),,,cafxbfabcxx为常数，且ab，试证：()fx为奇函数。11、,()xRfx满足：22()(1)fxfxx，求()fx。12、设()fx连续，且sin()2lim()xxfxfxx，求(),lim()xfxfx。13、（89）设()fx连续，且10()2()fxxfxdx，求()fx。14、（97）设12201()1()1fxxfxdxx，求10()fxdx。§2极限一、定义及性质（1）唯一性；（2）局部有界性；（3）局部保号性:0()0,(()0),lim()0(0);xxfxfxfxAAA（i）若或且，则或000lim()0(A0),U(,),U(,)()0(()0);ooxxfxAxxxfxfx（ii）若或则，或二、求极限的方法（重点）1、用定义证明和观察法如limarctan;limarctan;22xxxx1100lim;lim0xxxxee。2、用极限的四则运算法则和函数的连续性3、用两个重要极限：0sin)lim1xxix（或1sinlim0uuu）注意比较如下几个极限：sinlim0xxx，1sinlim0xxx，11sinlimxxx，01sinlim0xxx1011)lim(1),lim(1),lim(1)xnxxnxiieexexn一般形式：euuu10)1(lim，euuu)11(lim通常对于含三角函数的00型极限用i)，对于1型极限用ii)。4、(1)用等价无穷小计算极限0x时，常见的等价无穷小有sin,tan,ln(1),1,arcsin,arctan~,xxxxexxx211cos~,(1)1~(0)2xxxx.注意：x的广泛的代表性uueuuuuarctan,arcsin,1),1ln(,tan,sin～uucos1～221u,1)1(u～u等(2)有界函数乘无穷小仍为无穷小。5、用罗必达法则设（1）)(0)(limxf，)(0)(limxF，（0xx或x）（2）在0x的某个去心邻域内（当x充分大时）)(),(xFxf可导，且0)(xF（3）)()()(limAxFxf则)()(limxFxf)()()(limAxFxf基本类型有00和。对于0,，可以通过初等变形转化为00和。对于001,,0，通过取对数再用罗必达法则。6、用变量代换注意：该方法要视极限的具体形式而定，如：在计算0xx的极限时，如果被求极限中含有0xx的因式时，可以令0xx=t；在计算x的极限中，如果被求极限中含有x1，则可令tx1。在研究生数学入学考试中不常出现7、用极限存在的二个准则i)夹逼（两边夹）定理；ii)单调有界定理：单调递增（减）有上界（下界）的数列必有极限。8、利用导数定义9、用定积分定义当已知函数)(xf可积时，有101)(1)(limdxxfnnifnin，101)(1)(limdxaxfnniafnin=adxxfa0)(1101)(1)(limdxxafnniafnin=1)(aadxxfbanindxxfnabniabaf)())((lim110、用微分和积分中值定理11、用Taylor公式注意：下面几类极限一般要讨论左右极限：分段函数在分段点的极限；0xx时，与绝对值或开偶次方根有关的极限；0xx时，含有形如01xxa因式的极限。三、无穷小阶的比较设,均为无穷小，且不为0，如果：（1）lim/0时，则称是的高阶无穷小，或称是的低阶无穷小，记0()。（2）lim/0c时，则称与为同阶无穷小，特别当1c时，称与是等价无穷小。（3）lim/0kc时，则称是的k阶无穷小。注意：无穷小的比较是在数学考试中一个经常考的考点，尤其在数二、三、四中。其主要考法有：已知函数)(xf与另一已知函数)(xg是同阶无穷小，求)(xf中所含的参数；当函数)(xf满足什么条件时，是nx的同阶（高阶）无穷小；将给出的几个无穷小按其阶从小到大排列。例题（一）极限的计算1、（00）设对任意的x，总有()()()xfxgx，且lim[()()]0xgxx，则lim()xfx：（A）存在且等于零，（B）存在但不一定为零，（C）一定不存在，（D）不一定存在。2、（1）0sinlimcossinxxexxxx；（2）20tanlimsinxxxxx；（3）（97）2013sincoslim(1cos)ln(1)xxxxxx；（4）（00）30arctanlimln(12)xxxx。3、（1）011tanlim11sinxxxxx；（2）（99）201tan1sinlimln(1)xxxxxx。4、（1）（00）1402sinlim()1xxxexxe。（2）（05）（数三、四）xexxx111lim0)23(5、（1）1lim[(1)]xxexx；（2）2lim(100)xxxx。6、（1）（04）求极限3012coslim[()1]3xxxx；（2）（93）2352limsin53xxxx；7、（1）（99）2011lim()tanxxxx；（2）（94）21lim[ln(1)]xxxx。8、（1）（03）21ln(1)0lim(cos)xxx；（2）3111lim,(,,0)3xxxxxabcabc。9、（05）设函数)(xf连续，且0)0(f，求极限xxxdttxfxdttftx000)()()(lim)21(10、（07）30sinarctanlimxxxx=。（二）关于数列极限：10、（03）设,,nnnabc均为非负数列，且lim0,lim1,limnnnnnnabc，则必有：（A）nnab对任意n成立；（B）nnbc对任意n成立；（C）极限limnnnac不存在；（D）极限limnnnbc不存在。11、（98）设数列nx与ny满足lim()0nnnxy，则下列判断正确的是：（A）若nx发散，则ny必发散，（B）若nx无界，则ny必有界，（C）若nx有界，则ny必为无穷小，（D）若1nx为无穷小，则ny必为无穷小。12、（1）（98）21lim(tan)nnnn；（2）lim(1)nnnn。（3）（02）21limln[](12)nnnnana13、122,22,...,222nxxx，求limnnx。14、（96）1110,6nnxxx，证明limnnx存在并求之。15、（97）设11112,()2nnnaaaa，证明：limnna存在。16、设1112,2,(1)nnxxnx，求limnnx。17、（06）设数列nx满足10x，nnxxsin1，,2,1n证明：（1）limnnx存在，并求该极限；（2）计算211limnxnnnxx18、222111lim(....)12nnnnn。19、（95）22212lim(....)12nnnnnnnnn。（三）极限中常数的确定20、（04）若0sinlim(cos)5xxxxbea，求a、b。21、（1）（97）设0x时，tanxxee与nx是同阶无穷小，则?n（2）（96）设0x时，1