抛物线考点与题型归纳

抛物线考点与题型归纳一、基础知识1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.2．抛物线的标准方程和几何性质标准y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)方程图形p的几何意义：焦点F到准线l的距离顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p2二、常用结论与抛物线焦点弦有关的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB的倾斜角．则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)|AF|＝p1－cosα，|BF|＝p1＋cosα.(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α.(4)1|AF|＋1|BF|＝2p.(5)以弦AB为直径的圆与准线相切．考点一抛物线的定义及应用[典例](1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为()A.12B．1C.32D．2(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．[解析](1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.又点P到焦点F的距离为2，∴由定义知点P到准线的距离为2.∴xP＋1＝2，∴xP＝1.代入抛物线方程得|yP|＝2，∴△OFP的面积为S＝12·|OF|·|yP|＝12×1×2＝1.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.[答案](1)B(2)4[变透练清]1．若抛物线y2＝2px(p＞0)上的点A(x0，2)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于()A.12B．1C.32D．2解析：选D由抛物线y2＝2px知其准线方程为x＝－p2.又点A到准线的距离等于点A到焦点的距离，∴3x0＝x0＋p2，∴x0＝p4，∴Ap4，2.∵点A在抛物线y2＝2px上，∴p22＝2.∵p＞0，∴p＝2.故选D.2.变条件若将本例(2)中的B点坐标改为(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．解析：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝22＋42＝4＋16＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为25.答案：253．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋－12＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.答案：32－1[解题技法]与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的相互转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中，垂线段最短”解决．考点二抛物线的标准方程及性质[典例](1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－xB．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y(2)(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．[解析](1)(待定系数法)设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.(2)由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a)(a0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a＝4，即a＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．[答案](1)D(2)(1,0)[解题技法]1．求抛物线标准方程的方法及注意点(1)方法求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．(2)注意点①当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；②要掌握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；③要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．[题组训练]1．(2019·哈尔滨模拟)过点F(40,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A．y2＝12xB．y2＝－12xC．x2＝－12yD．x2＝12y解析：选D由抛物线的定义知，过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，故其方程为x2＝12y.2．若双曲线C：2x2－y2＝m(m＞0)与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝43，则m的值是________．解析：y2＝16x的准线l：x＝－4，因为C与抛物线y2＝16x的准线l：x＝－4交于A，B两点，|AB|＝43，设A在x轴上方，所以A(－4,23)，B(－4，－23)，将A点坐标代入双曲线方程得2×(－4)2－(23)2＝m，所以m＝20.答案：203．已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________________．解析：由△FPM为等边三角形，得|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设Pm，m22p，则点Mm，－p2，因为焦点F0，p2，△FPM是等边三角形，所以m22p＋p2＝4，p2＋p22＋m2＝4，解得m2＝12，p＝2，因此抛物线方程为x2＝4y.答案：x2＝4y考点三直线与抛物线的综合问题考法(一)直线与抛物线的交点问题[典例](2019·武汉部分学校调研)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.若N在以AB为直径的圆上，则p的值为________．[解析]设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.由x2＝2py得y′＝xp，则A，B处的切线斜率的乘积为x1x2p2＝－2p，∵点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－2p＝－1，∴p＝2.[答案]2[解题技法]直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．考法(二)抛物线的焦点弦问题[典例](2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝kx－1，y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋160，故x1＋x2＝2k2＋4k2.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4k2.由题设知4k2＋4k2＝8，解得k＝1或k＝－1(舍去)．因此l的方程为y＝x－1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0＝－x0＋5，x0＋12＝y0－x0＋122＋16.解得x0＝3，y0＝2或x0＝11，y0＝－6.因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.[解题技法]解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．[提醒]涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．[题组训练]1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM―→·FN―→＝()A．5B．6C．7D．8解析：选D由题意知直线MN的方程为y＝23(x＋2)，联立y＝23x＋2，y2＝4x，解得x＝1，y＝2或x＝4，y＝4.不妨设M(1,2)，N(4,4)．又∵抛物线焦点为F(1,0)，∴FM―→＝(0,2)，FN―→＝(3,4)．∴FM―→·FN―→＝0×3＋2×4＝8.2．已知抛物线y2＝16x的焦点为F，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝________.解析：不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)(A在B上方)，根据焦半径公式|AF|＝x1＋p2＝x1＋4＝6，所以x1＝2，y1＝42，所以直线AB的斜率为k＝422－4＝－22，所以直线方程为y＝－22(x－4)，与抛物线方程联立得x2－10x＋16＝0，即(x－2)(x－8)＝0，所以x2＝8，故|BF|＝8＋4＝12.答案：12[课时跟踪检测]A级1．(2018·永州三模)已知抛物线y＝px2(其中p为常数)过点A(1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于()A.92B.32C.118D.16解析：选D由抛物线y＝px2(其中p为常数)过点A(1,3)，可得p＝3，则抛物线的标准方程为x2＝13y，则抛物线的焦点到准线的距离等于16.故选D.2．过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－92x或x2＝43yB．y2＝92x或x2＝43yC．y2＝92x或x2＝－43yD．y2＝－92x或x2＝－43y解析：选A设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2,3)，解得k＝－92，m＝43，所以y2＝－92x或x2＝43y.3．(2019·龙岩质检)若直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且AB⊥x轴，|AB|＝42，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A．1B．2C．3D．5解析：选A由|AB|＝42及AB⊥x轴，不妨设点A的纵坐标为22，代入y2＝4x得点A的横坐标为2，从而直线AB的方程为x＝2.又y2＝4x的焦点为(