高三数学总复习空间向量在立体几何中的应用PPT课件

空间向量在立体几何中的应用1．两个重要向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有个，它们是共线向量．无数无数2．空间位置关系的向量表示3．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．4．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝.|n·e||n||e||a·b||a||b|5．求二面角的大小(1)如图①，AB、CD是二面角α­l­β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝．〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉6．点到平面的距离的向量求法如图所示，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝.1．在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？提示：给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标．2．两向量的夹角的范围是什么？两异面直线所成角呢？直线与平面所成角呢？二面角呢？提示：两向量的夹角范围是[0，π]；两异面直线所成角的范围是0，π2；直线与平面所成角的范围是0，π2；二面角的范围是[0，π]，注意以上各角取值范围的区别．1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交解析：选B∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)∴n＝－2a，即a∥n.∴l⊥α.2．若平面α、β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确解析：选C∵n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n1与n2不垂直，∴α与β相交但不垂直．解析：选C设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，则2x＋2y＋z＝0，4x＋5y＋3z＝0，即y＋z＝0.令z＝2，则y＝－2，x＝1.即n＝(1，－2,2)．故其单位法向量n0＝±n|n|＝±13，－23，23.4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．答案：235．正四棱锥S­ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是______．[例1]如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.1．用向量证明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．(2)线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．2．用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.证明：(1)以C为坐标原点，CD，CB，CE所在直线为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N，E的坐标分别为22，22，0，(0,0,1)．∴＝－22，－22，1.又点A，M的坐标分别是(2，2，0)，22，22，1，∴＝－22，－22，1.∴且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.1．利用向量求空间角是每年的必考内容，题型为解答题，难度适中，属中档题．2．高考对空间角的考查常有以下两个命题角度：(1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角．[例2](1)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.①证明：CF⊥平面ADF；②求二面角D­AF­E的余弦值．(2)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P­ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.①求证：AB∥FG；②若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE.求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．利用向量求空间角问题的常见类型及解题策略(1)求直线与平面所成的角．求直线l与平面α所成的角θ，可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角，则sinθ＝|cos〈n，a〉|.(2)求二面角．①分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角；②分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．1．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F­AB­P的余弦值．2.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝FB＝1.(1)求二面角C­DE­C1的正切值；(2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值．[例3]如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB＝60°.(1)求证：EF⊥PB；(2)试问：当点E在线段AB上移动时，二面角P­FC­B的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．[自主解答](1)证明：在Rt△ABC中，∵EF∥BC，∴EF⊥AB.∵EF⊥EB，EF⊥EP，又∵EB∩EP＝E，EB，EP⊂平面PEB，∴EF⊥平面PEB.又∵PB⊂平面PEB，∴EF⊥PB.(2)在平面PEB内，经点P作PD⊥BE于点D，由(1)知EF⊥平面PEB，∴EF⊥PD，又∵BE∩EF＝E，BE，EF⊂平面BCFE，∴PD⊥平面BCFE.在平面PEB内过点B作直线BH∥PD，则BH⊥平面BCFE.如图所示，以B为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．设PE＝x(0x4)，又∵AB＝BC＝4，∴BE＝4－x，EF＝x.在Rt△PED中，∠PED＝60°，∴PD＝32x，DE＝12x，∴BD＝4－x－12x＝4－32x，∴C(4,0,0)，F(x,4－x,0)，P0，4－32x，32x.从而＝(x－4,4－x,0)，＝－4，4－32x，32x.设n1＝(x0，y0，z0)是平面PCF的一个法向量，∴n1·CF―→＝0，n1·CP―→＝0，即x0x－4＋y04－x＝0，－4x0＋4－32xy0＋32xz0＝0，∴x0－y0＝0，3y0－z0＝0，取y0＝1，得n1＝(1,1，3)是平面PFC的一个法向量．又平面BFC的一个法向量为n2＝(0,0,1)．设二面角P­FC­B的平面角为α，则cosα＝|cos〈n1，n2〉|＝n1·n2|n1||n2|＝155.因此当点E在线段AB上移动时，二面角P­FC­B的平面角的余弦值为定值，且定值为155.保持本例条件不变，求平面PCF与平面PBE所成锐二面角的余弦值．解：设平面PBE的一个法向量为n2，平面PCF与平面PBE所成的锐二面角为β，则n2＝(1,0,0)，cosβ＝|cos〈n1，n2〉|＝n1·n2|n1||n2|＝15＝55.利用向量解决探索性问题的方法(1)与平行、垂直有关的探索性问题的解题策略是将空间中的平行与垂直转化为向量的平行或垂直来解决．(2)与角有关的探索性问题的解题策略是将空间角转化为与向量有关的问题．等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足ADDB＝CEEA＝12(如图1)．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1­DE­B成直二面角，连接A1B、A1C(如图2)．(1)求证：A1D⊥平面BCED；(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为等边△ABC的边长为3，且ADDB＝CEEA＝12，所以AD＝1，AE＝2.在△ADE中，∠DAE＝60°，由余弦定理得，DE＝12＋22－2×1×2×cos60°＝3.因为AD2＋DE2＝AE2，所以AD⊥DE.折叠后有A1D⊥DE.因为二面角A1­DE­B是直二面角，所以平面A1DE⊥平面BCED.又平面A1DE∩平面BCED＝DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE，所以A1D⊥平面BCED.(2)由(1)的证明，可知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED.以D为坐标原点，以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图．设PB＝2a(0≤2a≤3)，作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P，则BH＝a，PH＝3a，DH＝2－a.所以A1(0,0,1)，P(2－a，3a，0)，E(0，3，0)．所以＝(a－2，－3a,1)．因为ED⊥平面A1BD，所以平面A1BD的一个法向量为＝(0，3，0)．因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，所以sin60°＝|PA1―→·DE―→||PA1―→||DE―→|＝3a4a2－4a＋5×3＝32，解得a＝54.即PB＝2a＝52，满足0≤2a≤3，符合题意．所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB＝52.———————[课堂归纳——通法领悟]——————————2个关系——异面直线所成的角及二面角与向量夹角的关系(1)异面直线所成角与向量夹角的关系当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．(2)二面角与向量夹角的关系设二面角的两个面的法向量分别为n1，n2，则〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉是所求的二面角．这时要借助图形来判断所求角是锐角还是钝角，确定〈n1，n2〉是所求角，还是π－〈n1，n2〉是所求角．3个范围——三种空间角的范围(1)异面直线所成的角的范围是0，π2；(2)直线与平面所成角的范围是0，π2；(3)二面角的范围是[0，π].空间向量在立体几何中的应用[典例](12分)如图所示，在三棱锥P­ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：AB∥GH；(2)求二面角D­GH­E的余弦值．[快速规范审题]第(1)问1．审结论，明