随机变量序列的收敛性及其相互关系

长江大学毕业论文题目名称随机变量序列的收敛性及其相互关系院（系）信息与数学学院专业班级信计11001班学生姓名傅志立指导教师李治辅导教师_________李治______________摘要：概率极限理论不仅是概率论的重要组成部分，而且在数理统计中有广泛的应用。本文主要对a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛四种随机变量序列的概率和收敛性性质进行阐述；并结合具体实例讨论了它们之间的关系，进一步对概率论中依分布收敛的等价条件和一些依概率收敛的弱大数定律进行了具体的研究.目录1.........................................................................................引言2.........................................................................................a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛的概念、性质及其相互关系.2.1a.e.收敛的概念及性质2.2依概率收敛的概念及性质2.3依分布收敛的概念及性质2.4r-阶收敛的概念及性质2.5结论3.........................................................................................随机变量序列依分布收敛的等价条件4.........................................................................................随机变量nkkn11依概率收敛的一些结果5.........................................................................................小结6.........................................................................................参考文献1.引言：在数学分析和实变函数中“收敛性”极为重要，特别在实变函数中对可测函数列收敛性的讨论。实变函数主要是在集合论与测度论的基础上建立起了Lebesgue积分以及它的一些性质，而Lebesgue积分的讨论中，在测度空间）（PF,,中关于可测函数列的各种收敛性以及它们之间的关系的讨论在理论和应用上都是十分重要的.同样在现代概率论中，其中的许多概念也是借助于集合论和测度论中的概念来定义和研究的，比如概率论中事件间的关系及运算与集合论中—代数间的关系及运算是相类似的，而且在许多情况下，用集合论的表达方式更简练、更容易理解，不妨设为满足某一性质的全体所成的集合，若F为的一个—代数，则称）（F,为可测空间；若为F上的测度，则称）（,,F为测度空间；若为F上的测度，且1）（，则称为F上的概率测度，称）（,,F为概率测度空间；由此我们通过测度论知识就得到了概率测度空间，同时引出了概率公理化定义：概率是在—代数F上的一个非负的、规范的、可列可加的集函数，其中为某一试验中可能的结果的全体,称为样本空间；F为随机事件全体，称为事件域（—代数）；也就是说概率P是概率测度空间F上的一个测度集函数，同实变函数中的可测函数列收敛性一样，在概率论中我们有必要研究随机变量序列的收敛性，这对于概率论的学习是十分重要的.2.a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛的概念、性质及其相互关系.在概率论中，概率空间),,(PF上的随机变量就是样本空间上关于F的可测函数，对于一般的可测函数的序列我们在数学分析和实变函数中已有认识，其中“收敛性”理论是非常重要的，在概率论中也一样重要，随机变量序列有：几乎处处收敛，依概率收敛，依分布收敛，r—阶收敛。2.1a.e.收敛的概念及性质定义1设}{nf是一可测函数序列，f是可测函数，若存在,使得对于每一有nff,()则称}{nf几乎处处收敛于f，记作nff.如果对于每一，nfmf,()则称}{nf几乎处处相互收敛，记作nfmf.定理1nf（某一）f（）的充分必要条件是mfnf().证:利用性质nff，nf,a.e.,g=f,a.e.,则g.,假设nf，f皆有限，则存在,，当时nff，利用Cauchy准则，mfnf()，即mfnf.反之，若mfnf，则存在一,，当时，mfnf()，根据Cauchy准则，存在一个有数,使nf()令则nff.且f是一有限可测函数。f的可测性是由于{nf}是可测函数序列，且对一切有nff，（），即f是可测函数序列的极限，因而可测。2.2依概率收敛的概念及性质定义2设{}为一随机变量序列，X为一随机变量，如果对任意的0，有P（|-X|）,则程序列{}依概率收敛于X，记作.依概率收敛的含义是：对X的绝对偏差不小于任意给定的可能性将随着n的增大而越来越小。等价于P（|-X|）.特别当X为退化分布是，即P(X=c)=1,则称序列{}依概率收敛于c，即定理2设{}，{}是两个随机变量序列，a,b是两个常量。如果,,则有（1）;(2)(3);证明（1）因为{）|}{（|-a|）（|-b|）}所以0）|），即）|），由此得，类似可证.（2）i）若，则有.这是因为对任意0，有=.ii）若，则有c.这是因为对任意c0，有=.而当c=0时，结论显然成立。iii）若，则有.这是因为有以下一系类结论：，，，，即iv）由iii）及（1）知，.从而有（3）为了证明，我们先证：,这是因为对任意0，有P（|）=P（||）=P（||）+P（||）P（||）=P（））+）这就证明了，再与.2.3依分布收敛的概念及性质定义3设随机变量X,，，…的分布函数分别为F(x)，，（x），…。若对F(x)的任一连续点x，都有=F(x)，则称{}弱收敛于F(x)，记作.也称{按分部收敛于X，记作.定理3.设随机变量X,，，…的分布函数分别为F(x)，，（x），…。为证，相当于证，所以只需证：对所有的x，有F(x-0)F(x+0).（a）因为若上式成立，则当x是F(x)的连续点时，有F(x-0)F(x+0)，由此即可得为证（a）式成立，先令x，则{X}={X}{X}{|-},从而有F()+P（|-）.由，得P（|-）.所以有F().再令，即得.同理可证，当x时，有F().令x，即得F().定理4若c为常数，则.证明：（必要性）已由定理3给出，下证（充分性）：记的分布函数为=n=1,2，…因为常数c的分布函数为cxcxxF,0,1)(对任意的0，有P（|-c|）=P（）+P（）P（）+P（）=1-.由于x=和x=均为F(x)的连续点，且，所以当时，有=1，=0.由此得P（|-c|）即。引理1（马尔科夫[Mapkob]不等式）设随机变量有r阶绝对矩，即E,(r0),则对任意0有P（||）.（1.4）取r=2，并-E以代替，得P（|-E|），称为切比雪夫不等式2.4r—阶收敛的概念及性质定义4设对随机变量及有E，其中r0为常数，如果=0,则称{}r-阶收敛于，记为.定理5如果，则；反之不真.证明：由引理1，对0，有P(|-E|)，又=0，所以=0，即得.2.5结论由上面四种收敛性的概念及性质间可得关系：几乎处处收敛依概率收敛依分布收敛.r阶收敛依概率收敛依分布收敛.3.随机变量序列依分布收敛的等价条件.因为随机变量取值的统计规律可由它的分布函数完全确定，所以自然会考虑利用分布函数的收敛性来定义随机变量的收敛性，又分布函数和特征函数一一对应，而判断一个分布函数的序列的收敛是否弱收敛有时是很麻烦的，但判断相应的特征函数序列的收敛性却往往比较容易，下面给出弱收敛的充要条件，首先做一些准备：定理6设)1)((),(nxFxFn均为分布函数，则)()(xFxFWn的充要条件是：对于函数)(xF的连续点集1R的某个稠子集D有DxxFxFnn),()(lim.（2.1）证明：由1RD立得必要性.下设（2.1）式成立.对任何1Rx,取zxy且r阶收敛依概率收敛依分布收敛几乎处处收敛Dzy,则有)()()(zFxFyFnnn.令n，用（2.1）式得)()(lim)(lim)(lim)(lim)(zFzFxFxFyFyFnnnnnnnn.再令xzxy及便得证)()(limxFxFnn，即)()(xFxFWn.引理2（海来Helly第一定理）任一分布函数列)}({xFn必定含弱收敛于某函数)(xF的子列，而且)(xF单调不减，右连续，1)(0xF.注：在引理2中不能断定海来第一定理中的)(xF是分布函数.事实上，取)1(nnn，则对任应的分布函数0)(WnxF,极限函数不是分布函数.引理3（海来Helly第二定理）设分布函数列)}({xFn弱收敛于分布函数)(xF，则对任何有界连续函数有RnRdxxpxdxxpx)()()()(.（其中)(),(xpxpn分别是)(),(xFxFn的密度函数）.定理7（连续性定理）分布函数列)}({xFn弱收敛到分布函数)(xF的充要条件是：相应的特征函数列)}({tfn逐点收敛到相应的特征函数)(tf.证明：令)(),(xpxpn分别是)(),(xFxFn的密度函数.（必要性）：设)()(xFxFWn，对有界连续函数txtxcossin与分别用引理3便得，当n时对一切Rt有RRnnnRitxndxxtxpidxxtxpdxxpetf)(sin)(cos)()(RRRRnntfxtxdFixtxdFxtxdFixtxdF)()(sin)(cos)(sin)(cos.（充分性）据引理2知，分布函数列)}({xFn必存在子序列)}({xFkn，使当kn时FxFWnk)(.其中极限函数F是R上非减右连续函数且有界：1)(,0)(FF.下证此二式均取等号，即F为分布函数.如若不然，有1)()(FFa.（2.2）那么，一方面由1)0(f及)(tf连续知，对满足a10的任意，存在充分小的正数，使221|)(|21adttf.另一方面，既然FxFWnk)(，由（2.1）式知可选取4b，使b与b皆为F的连续点，且存在自然数K，使当Kk时有4)()(abFbFakknnk.（2.3）再由2||dteitx及bx||时有btxxdteitx2|sin2|||，便可得到,24441|)(][|21|)(][|21|)(][|21|)(|21)|(|),(aaabaxdFdtexdFexdFdtedttfkkkbxnitxnbbitxnitxnkkkk这与（2.3）式矛盾.至此得证)}({xFn的子列)}({xFkn弱收敛到分布函数F.对此运用已证的必要性，知F所对应的特征函数为f.再由极限函数的唯一性定理可推出FF.最后证明分布函数列)}({xFn也弱收敛到)(xF.仍然用反证法.如若不然，必存在)(xF的连续点0x，使）0(xFn不趋于)(0xF.于是有界数列)(0xFn必含收敛子列)}({0xFkm.其极限值)()()(00*0xFxFxFkm.对分布函数序列)}({xFkm运用引理2，又存在子列)}({1xFkm使*)(1FxFWmk.*F与前述F至少在0x上不同.但是重复上述论证可知*F也应当是与f对应的分布函数，由唯一性定理知FF*，这导出矛盾.定理证完.下面给出弱收敛的各种等价条件：如果存在一个函数)(tf，使对每一Rt,有)()(limt